思考题及答案要点

1．统计推断的前提条件是什么？

答：统计推断的前提条件是随机抽取足够多的样本。其中，随机意味着总体中的每个个体被抽到的机会相同；而足够多的样本则能充分地反映总体。

2．统计推断的理论基础是什么？

答：统计推断的理论基础是大数定理、中心极限定理和小概率事件原理。

3．检验员从100袋牛奶中抽取20袋，如何利用随机数表产生样本？

答：随机数表由数字0～9组成，每个数字在表中各位置出现的次数都是一样的（可参考统计书所附的随机数表）。先将100袋牛奶从0～99编号，再从随机数表中任选一个数，如选择表中第9行第5列的数1（为便于说明问题，摘取随机数表中第9～10行），最后从选定的数1向右读，得到一个两位数12（小于99，说明12在总体内），将其取出。继续向右读，得到34，如此反复，直至样本的10个号码全部取出。

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28

4．本章例1在简单随机抽样中，为何不将零件从1～1000编号？

答：若这样编号，从随机数表中读取三位数字，永远抽不到编号为1000的零件，这与随机抽样要求每个个体被抽到的机会均等矛盾。虽然从随机数表读取四位数字可解决此问题，但读到的四位数字，绝大多数大于1000，这样频繁地废弃后再重新读数，致使产生100个样本编号的时间大大延长。因在等距抽样中不存在这个问题，故本例在采用等距方法抽样时，可对零件从1～1000编号。

5．下列数据哪些是计量值数据：血压值120毫米汞柱、工时利用率90%、实弹射击成绩9.8环、产品早返率2.5%（200个有5个早返）、一块玻璃上的3个气泡。

答：血压值120毫米汞柱虽然是整数，但质量特性值血压可以取小数，所以是计量值数据；表示工时的小时、分钟和秒虽然用整数，但可以将它们转化为小时，本质上可以取小数，计量值的百分率一定是计量特性值数据；射击成绩9.8环因可以取小数，故是计量值数据；产品早返个数“5”是计件值数据，不连续，所以产品早返率是不连续数据，是计件值数据；而玻璃上的气泡数3则是计点值数据。

6．为什么，请演示推导过程。

答：该题目的是熟悉数学期望与方差性质，为后续理解Cpm和Cpmk存在的问题打基础。

7．设随机变量X与Y相互独立，它们的均值分别为1与2，方差分别为3与4，则随机变量Z=5X+6Y的均值与方差分别为多少？

答：E（5X+6Y）=5E（X）+6E（Y）=5×1+6×2=17；

Var（5X+6Y）=25Var（X）+36Var（Y）=25×3+36×4=75+144=219。

8．某质量工程师为了解加工过程能力抽样测量零件尺寸，尺寸要求为1.540mm±0.005mm，每隔半小时抽5个零件，上午抽取8次，测得零件尺寸见表1-7。请问，在计算标准差时，若将所测得每个数据都减去1.540，再计算标准差，结果有无变化。

答：无变化，都是0.002049。根据方差性质，Var（X）=Var（X-c）。这意味着不管质量特性值同减去什么值（常数c），计算出的标准差值不变。读者可采用Excel表自行验证。

9．如何理解“无论正态分布曲线的均值μ如何变化即中心位置如何变化，都不改变正态分布曲线的形状，即标准差σ不变。”这句话？

答：根据数学期望和方差的性质有：E（X±c）=E（X）±c; Var（X±c）=Var（X）。这意味着当产品质量特性值X都加上（或减去）一个常数c，致使均值发生变化时，产品质量特性的这组数据的标准差不变。即无论正态分布曲线均值μ如何变化，标准差σ不变。

10．标准差为1的正态分布是标准正态分布吗？

答：不是，只有均值为零且标准差为1的正态分布才是标准正态分布。

11．面积、分布概率、合格（缺陷）率的区别是什么？

答：面积与分布概率是一个概念，都是相对于一定区间范围而言的。当区间是合格区间时，面积和分布概率就是合格率；当区间是缺陷率区间时，面积和分布概率就是缺陷率。

12.φ（x）与φ（u）和Φ（u）的区别是什么？

答：φ（x）是标准正态分布概率密度函数；φ（u）是φ（x）在x=u时的概率密度函数值；Φ（u）是曲线φ（x）在区间[ -∞, u]内的分布概率（面积）。

13．附表1中对于u=1时查得的结果是Φ（1）还是φ（1）？其含义是什么？

答：Φ（1），其含义是标准正态分布曲线落在区间[ -∞,1]内的面积，而φ（1）是标准正态分布函数φ（x）在u=1时的函数值。

14．对于任意a、b（a≤b），请写出计算一般正态分布概率密度函数p（x）落在区间[a, b]内分布概率的积分表达式和概率计算表达式。对于标准正态分布呢？

标准正态分布。

15．有人说：“对于具体的x（x＞0）值，可由表中查得相应的φ（x）, φ（x）值的几何意义是：曲线下左边的面积。如φ（1）=0.8413。当然，也可反查，如φ（x）=0.9904，查得u=2.34，即x=u=2.34。”这段话错在何处？

答：错误在于基本概念不清，混淆了大Φ与小φ的本质区别。应将所有的φ（x）改成Φ（x）。

16．在概率密度函数中，当σ→∞时，合格率趋近于什么？

答：不管公差大小如何，实践中公差范围总有界。假设公差范围为T，则T为有界函数（常数是函数的特例），即不超过某个具体值。当σ→∞时，由于概率密度函数p（x）→0，即p（x）为无穷小，对无穷小概念的通俗理解是“要多小，有多小”或“小得不能再小”。无穷小有一个性质：有界函数乘以无穷小还是无穷小。故当σ→∞时，合格率趋近于零。

17．为什么概率密度函数曲线在任意一点处积分为零？

答：因为面积为零。曲线只有在积分区间内才能谈分布概率，正态分布曲线也不例外。由于针对某一个x值并未形成积分区间，所以概率密度函数φ（x）在任意x处不能谈概率。如果可以谈的话，那么正态分布曲线在任意x处的概率为零。

18．为什么正态分布曲线落在区间[μ±σ]、[μ±2σ]、[μ±3σ]内的概率分别是68.26%、95.44%和99.73%？

答：运用正态分布概率计算通式并查附表1计算可得上述结果，计算过程略。

19．正态分布方差σ2的无偏估计是什么？

答：σ2的无偏估计是样本方差，即。

20．下列有关标准正态分布概率计算表示正确的有

A.Φ（a）=P（u＜a）=P（u≤a）

B.P（u＞a）=1-Φ（a）

C.Φ（-a）=1-Φ（a）

D.P（0≤u≤a）=Φ（a）-0.5

E.P（-a≤u≤a）=2Φ（a）-1

答：ABCDE都正确。

21．设X～N（1,4），计算P（0≤X≤2）=2Φ（0.5）-1对吗？

答：正确。但注意正态分布的正规表示应该是X～N（1,22）。

22．一批砝码平均质量为50g，标准差为0.01g，则质量在49.97～50.03g内的砝码约有多少？

答：2Φ（3）-1=99.73%。

23．一个样本由n个观察值组成，样本均值和样本标准差都大于零，若其中一个观察值等于样本均值，将该观察值从样本中除去，则样本均值和样本标准差将发生怎样变化？

答：样本均值不变，样本标准差增大（因为公式中的分子不变，分母n-1变小）。

24．数学期望E（X）的内涵是什么？举例说明它与均值的区别。

答：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P（X=xi）之积的和称为数学期望。例如，三人给一个应用软件系统打分（满分为10分），用户、程序员和专家分别给出了8、7、9分，三人对应的权重分别是0.3、0.3和0.4，则数学期望为8×0.3+7×0.3+9×0.4=2.4+2.1+3.6=8.1分。当三人权重相同（都是1/3）时，则数学期望为8.0分，此时的数学期望就是均值。可见，数学期望可理解成加权平均值，而均值是权重相同时的数学期望。