1.8 如何根据样本推断总体

由于总体参数σ是未知的，所以人们常通过样本对总体参数进行估计。

设总体X～N（μ, σ2）, xi（i=1,2, ……, n）为其样本，则有下列结论：

（1）样本均值是总体均值的无偏估计，即。

（2）样本方差s2是总体方差σ2的无偏估计，即。但注意，s不是σ的无偏估计。

（3）总体标准差σ的无偏估计是或。c4和d2是修偏系数，见表1-3。

这样，通过抽取一组样本数据x1, x2, ……, xn，计算样本均值和样本标准差s，用及作为总体均值μ和总体标准差σ的估计值，进而实现根据样本和s推断总体μ与σ。

【例3】 已知样本的5个数据为0.75,0.70,0.65,0.70,0.65，试估计总体的均值与标准差。

解：=（0.75+0.70+0.65+0.70+0.65）/5=0.69

s2=（0.062+0.012+0.042+0.012+0.042）/4=0.00175

s==0.0418

=0.0418/0.94=0.44

有文献介绍估计μ和σ的两种方法[2]如下：

当每隔一定时间抽取n个产品，连续抽取k组（每组n个产品）可以得到μ和σ的估计值是或。

其中, c4和d2是修偏系数。

当长期地收集数据，使得样本数n很大时，可直接用样本均值和样本标准差s估计总体的均值μ和总体标准差σ。

数理统计学告诉我们，当n＞25时，修偏系数c4=4（n-1）/（4n-1）。作者在2≤n≤30范围内对c4做了计算，见表1-4。结果表明：当保留小数点后3位时，两者基本相同；在n=25时两者相等；当n＞25时，c4=0.99≈1。这说明当n很大时，可采用样本标准差近似代替总体标准差。但在控制图中，每个子组样本数量n并不大，常取4～6为宜。

有文献[3]介绍了估算标准差的4种方法。连续抽取k组数据，每组n个，估计总体标准差σ的方法有：

1．总体方差法

直接采用样本标准差公式计算k×n个数据的标准差

2．均值方差法

先计算每组数据的均值，得到k个均值，再计算这k个均值的标准差，然后根据样本均值的标准方差与总体标准方差的关系估计计算。

3．分组方差法

先计算每组数据的标准差si，得到k组数据的k个标准差，后计算这k个标准差的均值，根据样本标准差与总体标准差的关系估计计算。其中，c4为与每批数据个数n有关的常数。

4．分组极差法

先计算每组数据极差Ri，得k组数据的k个极差，后计算这k个极差的均值，根据样本极差与总体标准差的关系估计计算。其中，d2为与每批数据个数n有关的常数。

【例4】 以手表螺栓扭矩抽样数据为例，见表1-5，用上述四种方法计算标准差。

解：总体方差法

本例用Excel中的标准差功能函数stdev（）计算得6.10（计算方法参见第12.6案例1）。

均值方差法

本例中计算出25组数据各自的平均值，计算这些均值的平均值，再采用标准差公式计算出这k个均值的标准差为=2.90，则。

分组方差法

本例中计算出每组数据的标准差si，再计算出这些标准差的均值，则s==5.64/0.94=6.00。

分组极差法

本例中计算出每组数据的极差Ri，再计算出这些极差的均值=14.28，则s==14.28/2.326=6.14。

说明：为与偏移系数保持一致，计算过程中保留3位小数。

比较总体方差法、均值方差法、分组方差法和分组极差法计算结果，相对于总体方差法而言，均值方差法估计值偏离最大。上述四种方法计算总体标准差，都属于“点估计法”。显然，样本数越小，估计值越不能代表总体；样本数越大，估计值越接近真值。当样本趋于无穷时，四种方法计算结果趋于同一值。