预测人口增长

较“软”性的科学——比如生物学和经济学中，也充斥着各种数学模型，这些模型都远比它们所要真正表示的现象简单得多，甚至以某些方式刻意地使其不够精确，但是这些模型还是有其用场、富于启发性。就以一个在经济学上有重要意义的生物学问题为例，我们来考虑预测一国未来20年的人口。我们可能会用到一种非常简单的模型，即将全国人口表示为一组数对（t, p（t）），其中t表示时间，p（t）表示时刻t的人口规模。另外我们要用到两个数b和d，来表示出生率和死亡率。所谓出生率和死亡率，即每年出生人数和死亡人数占总人口的比例。

假设我们已知2002年初的总人口是p。根据上述模型，2002年的出生人数和死亡人数将分别为bp和dp，因此2003年初的总人口将为p+bp-dp=（1+b-d）p。其他年份亦然，因此我们就能够写出公式p（n+1）=（1+b-d）p（n），意即n+1年年初的人口是n年年初人口乘以（1+b-d）。换句话说，每一年人口数量都会乘上（1+b-d）。那么20年后的人口就是乘以（1+b-d）20，于是就得出了初始问题的答案。

这个模型已经比较好了，它能向我们证明，如果出生率明显高于死亡率，那么人口就会急剧增长。但即便如此，它也还是不够现实的，它作出的预测可能很不精确。比方说，模型中假设出生率和死亡率在20年中都保持不变，这并不太可信。过去的事实已经证明，出生率和死亡率经常会受到社会变迁和政治事件的影响，如医学进步、新型疾病出现、女性首次生育年龄增大、税负激励以及偶尔发生的大规模战争等等。生育率与死亡率会随时间变化还有另一个原因，就是一国国民的年龄分布可能相当失衡。比方说，15年前出现了一波婴儿潮，那么我们就有理由预期再过10年到15年出生率就会增加。

因此，通过引入其他因素来使模型复杂化，这个想法相当诱人。我们记出生率和死亡率分别为b（t）和d（t），使其可以随时间变化。我们并不想单用一个数字p（t）来表示总人口，我们可能想要知道不同年龄层各有多少人。如果同时还能尽可能多地知道各个年龄层的社会态度和行为倾向，也会对预测未来的出生率和死亡率有所帮助。获取这样的统计信息是十分昂贵且困难的，但这些信息确实能够大幅提高预测的精度。因此，没有一种模型能够脱颖而出，声称比其他模型都好。关于社会和政治的变迁，谁也不可能确切地说出情况会是什么样子。关于某种模型，我们所能提出的合理问题，最多只能是问某种有条件的预测，也就是说模型只能告诉我们，这样的社会或政治变迁如果发生的话会产生怎样的影响。