2.2 拓扑纹理图像的去噪方法
拓扑纹理图像在获取过程中包含了很多噪声，噪声不仅恶化了图像的质量，使图像模糊，而且淹没了纹线特征。现有去噪模型在进行噪声去除的同时，特征曲线演化后的形状渐凸，导致形状失真。同时，现有去噪模型的拓扑自适应能力较差，无法有效表示特征曲线的分裂和合并等情况。由于拓扑纹理图像中包含很多拓扑形状复杂的曲线边缘，因此为了在噪声去除的同时实现对曲线边缘的保留，必须采用具有保细节功能的去噪方法。
2.2.1 拓扑纹理去噪的基本思路
近年来，国内外学者对保边去噪算法的研究比较活跃。Ceccarelli
、袁泽剑和耿茵茵采用非线性异质扩散方程模型，将仅具有同质扩散特性的高斯光滑核替换为具有保边性能的定向扩散，使得扩散模型能够在消除噪声的同时保留边缘。杨朝霞采用变正则参数方法，通过选取变动的正则参数，构造出具有变正则参数的变分模型，使得含噪图像在去噪的同时，具有保边缘的自适应能力。朱菊华提出一种基于纹理分析的保细节平滑滤波器，通过自适应的模板选择来进行平滑滤波，从而兼顾了降噪和保边功能。
此外，曲线演化去噪模型也是近年来提出的一种有效的保形去噪方法。Evans和Barles提出的平均曲率运动（Mean Curvature Motion，MCM）是一种有效的曲线演化模型，当曲线以平均曲率的速度沿法线方向收缩时，由于高曲率曲线（如噪声）比低曲率曲线（如纹线）收缩的速度更快，因此该模型非常适用于噪声去除和曲线平滑。但该模型在用于图像演化去噪时主要存在两个问题：一是在噪声去除的同时特征曲线演化后的形状都渐凸，导致形状失真；二是曲线演化时的拓扑自适应能力较差，无法有效表示特征曲线的分裂和合并等情况。
针对MCM模型的形状失真问题，Gage和Dolcetta利用曲线所围区域的变化可以有效反映曲线形状失真的这一客观事实，提出一种保“面积”的平均曲率运动模型。通过对曲线演化时所围面积的约束，使曲线在演化时的面积得到保留，从而克服了特征曲线在MCM模型中形状失真的缺点。此外，针对MCM模型的拓扑自适应能力弱的缺陷，Evans和Malladi采用水平集方法进行图像去噪，通过对隐式水平集函数的演化，使封闭移动界面有效适应几何拓扑的变化，从而克服了曲线演化时拓扑自适应能力较差的缺点。
但是，文献[28，29]和文献[30，31]各自只针对了MCM模型一个方面的缺陷，而没有考虑该模型另一方面的缺陷，这主要表现在：文献[28，29]虽然克服了特征曲线在MCM模型中形状失真的缺点，但是由于该模型中的面积保留MCM模型是曲线演化的显式形式，因此模型的拓扑自适应能力没有得到有效改善；文献[30，31]虽然提高了曲线演化时的拓扑自适应能力，但是特征曲线形状失真现象没有得到有效抑制，此外由于算法直接对水平集方程进行有限差分数值计算，因此计算开销比较大。
2.2.2 Allen-Cahn非线性抛物方程
近几十年以来，随着各门学科的进步，人们越来越认识到非线性抛物型偏微分方程的理论对实际应用起着重要的指导作用。通过对非线性抛物型方程的研究，我们在理论上可以更好地分析各类物理、化学、生物模型的变化形势。
非线性抛物方程是一类重要的偏微分方程，来源于自然界中广泛存在的非线性现象。它的模型来源于自然界广泛存在的扩散现象、渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等领域。在图像处理的应用领域中，特别是相变理论中的Allen-Cahn方程、流体力学中的Cahn-Hilliard方程等，这些方程不仅有明确的物理背景，而且还有广泛的应用价值。
1979年Cahn和他的学生Allen提出了晶体材料在反相位边界上的运动，利用Allen-Cahn模型作为描述二元合金在一定温度下相位分离过程的简单模型。为了描述合金中的两相流运动，在文献[32]中引入了如下的一类二阶抛物方程的初边值问题：
，初始和边界条件为：
，其中Ω⊆Rn，其边界∂Ω光滑，n是区域Ω边界的外法向，t＜0，参数ξ可用来表示两相流相变边界的宽度，w（u）为一个双位井位势函数，如w（u）=（u2-1）2，此时，u=±1为其平衡态。标量函数u表示两种材料混合物质的物理状态，即合金的浓度，在u=±1时，表示两种纯净没有掺杂质的物理状态。边界条件
说明在边界上没有质量损失。
Allen-Cahn模型可以描述两相流体的连续变化，有个宽度为ξ的界面层也可以被刻画出来，这和用间断的方法来描述界面是完全不同的。Allen-Cahn模型的一个显著优点就是不必确定界面的位置形状，只需要求解出变量函数u。
目前，对Allen-Cahn方程已有许多相关的研究，如对ξ→0时的渐近分析最早由Allen、Cahn以及Rubinstein等提出。对此渐近分析的严格论证是由Bronsard、Ilmanen等给出的。Allen-Cahn方程被广泛应用于一系列问题中，如相变、图像分析、平均曲率流的运动、晶体生长等。
本章结合了文献[28，29]面积保留平均曲率运动模型和文献[30，31]水平集去噪模型的各自优势，提出一种基于Allen-Cahn方程的面积保留水平集演化去噪算法（Area-Preserving Nonlocal Allen-Cahn Method，APNACM），该算法不仅提高了模型对复杂纹线拓扑形变的自适应能力，而且有效地避免了特征纹线形状的失真。为避免直接对水平集方程进行有限差分数值计算，本章采用改进的快速行进（Fast Marching Method，FMM）算法。Sethian提出的经典FMM算法虽然能加快水平集方程的求解速度，降低算法实现的复杂度，但是它要求移动界面的行进方向保持不变，因此不适合于Allen-Cahn方程这类行进方向可变的速度函数的计算。本章采用改进FMM算法，在保留经典FMM算法快速运行的前提下，提高它对可变行进方向的自适应能力。实验结果表明，采用本章算法不仅能降低拓扑纹理图像噪声水平，而且能有效地避免纹线的形变失真。