第2章 基于Allen-Cahn模型的拓扑纹理图像去噪研究

2.1 图像去噪理论

图像在形成、传输和存储过程中，由于受到噪声的干扰而退化。一般而言，人们希望知道的是真实图像，而观测到的往往都是受了不可预知的噪声污染了的图像。这些噪声的存在使得所观测到的图像模糊不清，该注意的细节被忽略，该识别的目标变得不可识别，严重影响了图像的应用效果。图像去噪是图像处理中一项应用比较广泛的技术，其作用是为了改善图像的质量，提高图像的信噪比，突出图像的期望特征。

图像去噪方法根据对图像作用域的不同，大致可以分为两大类：空间域方法和变换域方法。空间域方法，主要是利用图像信号和滤波函数进行卷积来完成的，这个过程很多情况下可利用模板进行处理，不同的滤波函数得到不同的模板。空间域滤波包括均值滤波、中值滤波和维纳滤波换域方法需要对图像进行变换，并在频率域内用图像的频域信号与传递函数相乘来完成图像滤波。当处理完毕后，需要再使用逆变换变回空间域，从而得到普通意义上的图像。

传统的图像去噪方法在去噪过程中，不可避免地会模糊一些图像的细节，丢失一些边缘和纹理信息，这些细节信息包括几何形状细节，如纹理、细线、边缘和对比度变化细节。噪声的去除和细节的保护在图像去噪过程中是一对矛盾关系，因为噪声和细节都属于图像信号中的高频部分，很难区分出它们，所以在滤除图像噪声的同时，也会对图像的特征造成破坏，致使图像失真。为了抑制图像中的噪声，更好地复原因噪声污染引起的图像质量退化，有必要寻找更好的去噪方法，保证在去除噪声的同时，还能保持边缘和纹理等一些细节信息。

在图像处理的发展过程中，用偏微分方程的方法进行图像去噪已经成为一个比较受人关注的研究热点。自20世纪90年代以来，使用偏微分方程进行图像处理的方法获得了较大的发展，逐步成为一门十分具有吸引力的研究课题。偏微分方程从分析图像和噪声的数学模型入手，结合了数学理论及多种数学工具，建立了去噪和偏微分方程相联系的理论。

概括地说，采用偏微分方程方法进行图像处理具有以下优势：

①偏微分方程给出了分析图像的连续模型，离散的滤波表现为连续的微分算子，因而使得网格的划分、局部非线性滤波易于实现；

②变分偏微分方程可以直接处理图像中视觉上重要的几何特征，如梯度、切线、曲率、水平集等；

③变分偏微分方程可以有效地模拟具有视觉意义的动态过程，如各项同性扩散、各项异性扩散以及信息的传输机制；

④当图像表示为连续信号时，偏微分方程可视为在无穷小邻域中的局部滤波器的迭代，这种特性允许将已有的滤波方法进行合成和分类，并可能形成新的滤波方法；

⑤基于偏微分方程的图像去噪方法可以实现图像的非线性去噪，在去除图像噪声的同时保留图像的边缘等信息；

⑥借助偏微分方程的数值分析理论，算法高速、准确且稳定，黏性解理论提供了严格应用偏微分算子的理论基础。

源于变分方法和形变模型的偏微分方程方法已经成为图像处理与分析中的一个重要工具。这方面最早的研究工作可以追溯到Gabor等关于图像光滑和图像增强的研究。而这个领域实质性的创始工作归功于Koenderink和Witkin各自独立的研究。在他们的研究工作中，图像的多尺度表示是通过Gaussian平滑来获得的，这等价于利用经典的热传导方程来演化图像得到一个各向同性扩散流。但由于Gaussian滤波器在去噪的过程中不能够很好地保持边缘，所以很多学者提出了改进策略。

最著名的方法是在1990年由Perona和Malik提出的非线性偏微分方程去噪模型，该模型的提出对偏微分方程在图像处理中的应用研究起到了推波助澜的作用。Perona和Malik的方法虽然在去噪应用中有良好的表现，但是在理论上这个模型存在逆向扩散，是一个病态方程。这种逆向热扩散虽然能在一定条件下增强图像边缘的强度，取得较好的去噪效果，但是该方程本质上是不稳定的，不适当的参数设置可能导致方程产生完全畸变的结果。

为此，很多学者对其进行了本质的分析，提出了很多改进的非线性扩散模型。基于非线性扩散方程的去噪方法在去除噪声的同时，能够很好地保持图像中目标的几何结构。其基本思路是在区域内和目标边缘处采用不同的平滑策略：在区域内加速平滑，而在边缘处抑制平滑。Alvarez对Perona-Malik模型的扩散系数做了改进，提出基于曲率同质扩散方法，该模型具有选择光滑的特性，图像保边去噪的效果得到了明显改进。石澄贤提出了在小波域上将非线性扩散用于图像去噪，其基本思想是把保真项定义在图像小波域的大尺度信息上，但不能保持细节信息。

基于偏微分方程的图像处理方法的另一个重要来源是几何图像模型。基于几何图像模型的方法和各向异性扩散方程是异曲同工的。几何图像模型的意义在于结合图像数据关于目标形状、位置等其他先验知识约束可以为轮廓提取、形状建模、图像分割、立体匹配、运动跟踪等一系列计算机视觉问题提供一个统一的解决方法。

比较经典的几何图像模型包括：平均曲率流模型、开关曲率流模型、最小曲面模型、Gauss曲率运动模型等。平均曲率流模型描述了曲线以平均曲率为速度，沿着法线方向进行运动的理论模型。Luis提出了平均曲率运动扩散方程（Mean Curvature Motion，MCM），该方法仅保留沿垂直于梯度方向，也就是切线方向上的扩散，能够很好地在保持目标边缘的同时去除噪声，但是由于该方法的速度项与图像的局部曲率和梯度模有关，因此造成图像中目标尖角的演化速度比边缘快，使尖角丢失。同时，由于该方法总是沿着一个方向扩散，因此整体去噪速度也比较慢。贾迪野考虑到高阶的非线性扩散对高频噪声平滑速度更快，提出了利用方向曲率模来描述图像平滑度的泛函，进而得到高阶的非线性扩散方程对图像进行去噪，取得了很好的效果。

去噪效率不高是平均曲率流模型的典型缺点，采用该模型对图像处理的结果容易带有阶跃效应。该模型的另一缺点是容易丢失目标中的尖角等曲率比较大的结构，对此有学者提出了改进模型。开关曲率流模型就是其中之一，它主要是在判断局部位置是否存在尖角的基础上对尖角进行保护处理。对经典平均曲率曲面演化模型的改进，典型的如Overgaard提出的利用曲面的高斯曲率控制曲面演化的模型，该模型的扩散速度与高斯曲率有关，因为在图像的边缘处曲面的高斯曲率接近于零，因此该模型能够很好地保护边缘，甚至小尺度结构单元等信息。

几何图像模型的求解处理方法主要包括参数化模型方法和隐式模型方法。前者通常在离散的三角形或多边形网格曲面上求解偏微分方程，并涉及梯度及拉普拉斯算子等微分算子的复杂计算，且当演化曲面拓扑结构发生变化时，必须进行相应的处理并进行重新参数化。而以水平集方法为代表的动态隐式方法能自动处理拓扑结构变化的曲面。水平集方法由Osher和Sethian提出，其基本思想是将n维空间的问题拓展到n+1维空间来求解，将正在演化的闭合曲面的问题转化为更高维空间中的水平集函数的隐式解，从而可将一般曲面演化转化为水平集函数零等值面的演化，这样避免了对演化曲面的参数化过程。水平集函数的演化方程可采用简单的差分格式进行离散，并能自动处理曲面拓扑结构的变化。目前，水平集方法已经广泛应用于三维曲面处理的各个方面，如曲面去噪、曲面修复以及曲面上图像处理等。