1.2 复平面上曲线和区域

1.2.1△ 复平面上曲线方程的各种表示

平面曲线方程有直角坐标方程和参数方程两种形式.复平面上的曲线方程也可写成相应的两种形式.

1.曲线直角方程的复数形式

由关系式和可知，曲线C的方程F（x，y）=0，可写成复数形式

例如，Re（z）=0表示虚轴，Im（z）=0表示实轴，方程Im（z）=1和都表示直线y=1.又如圆周（x-x0）2+（y-y0）2=R2可以表示为

|z-z0|=R （1-2-1a）

其中z0=x0+iy0为圆心，|z-z0|为动点z到定点z0的距离.由此可以看出，用复数z=x+iy表示曲线上的动点，可以直接写出其轨迹方程.例如：

动点到定点z1和z2的距离之和为常数2a的轨迹为椭圆（|z1-z2|＜2a），其方程为

|z-z2|+|z-z1|=2a；

到点z1和z2等距离的动点轨迹为连接这两点线段的垂直平分线，其方程为|z-z1|=|z-z2|.

2.曲线参数方程的复数形式

设z=x+iy，z（t）=x（t）+iy（t），则由两个复数相等的定义得

曲线C的参数方程：x=x（t）且y=y（t）（α≤t≤β），等价于其复数形式

z=x（t）+iy（t）或z=z（t）（α≤t≤β） （1-2-2）

【例1-4】 指出下列方程表示什么曲线.

（1）z=（1+i）t+z0（-∞＜t＜∞），

（2）z=（1+i）t+z0（t＞0）.

解 设z=x+iy，z0=x0+iy0，则有z=（1+i）t+z0⇔x=x0+t且y=y0+t，因此方程（1）表示过点z0其方向平行于复向量1+i的直线.

同样方程（2）只是（1）中直线的半直线，由于点z满足），因此它是从点z0出发倾角为的射线（不包含点z0，见图1-4）.显然其方程可简写为arg（z-z0）=π/4.

另外，从几何轨迹的观点来看，对任意复常数a和b，动点z=at+b是从点b沿复向量at的方向平移了距离|at|，其动点总位于过点b平行于复向量at的直线上（a≠0），该直线方程为

z=at+b（-∞＜t＜∞） （1-2-2a）

对于圆周的参数方程x=x0+Rcost，y=y0+Rsint（0≤t≤2π），令z0=x0+iy0，其等价的复数形式，显然为

z=z0+R（cost+isint）或z=z0+Reit （1-2-2b）

其中t∈[0，2π]或t∈[-π，π].

1.2.2△ 连续曲线和简单曲线与光滑曲线

设曲线C为z=z（t）=x（t）+iy（t）（α≤t≤β），若x（t）和y（t）在[α，β]上连续，即z（t）在[α，β]上连续，则称曲线C为连续曲线.另外当α≤t1＜t2＜β时还总有z（t1）≠z（t2），则该连续曲线在图形上无重点，称它为简单曲线或Jordan曲线；若其方程还满足z（α）=z（β），则称它为简单闭曲线或简单闭路.如一般圆周或多边形的边界都是简单闭曲线.

所谓曲线（1-2-2）是光滑的，在图形上是指它各点处具有连续变动的切线，即切向量z′（t）=x′（t）+iy′（t）在[α，β]上连续，又因当z′（t）=0时其切向量的方向不确定、无切线，所以其定义如下。

定义1 若曲线C为z=z（t）（α≤t≤β），其中z′（t）在[α，β]上连续且z′（t）≠0，则称曲线C为光滑曲线，由有限条光滑曲线所连接成的一条曲线称为逐段光滑曲线.

显然直线、圆周等都是光滑曲线，而折线和多边形边界都是逐段光滑曲线.

1.2.3 平面点集与区域

1.复平面点集的几个基本概念

若z0为定点，δ为某个正常数，则称复平面上一切满足|z-z0|＜δ的点集为点z0的一个δ-邻域，记为Nδ（z0）；并称满足不等式0＜|z-z0|＜δ的点集为z0的一个去心邻域.

设E为复平面上的点集，若z0∈E且存在z0的一个邻域Nδ（z0）⊂E，则称z0为E的内点.

若z0的任意一个邻域内都有E的点也有不属于E的点，则称z0为E的边界点.E的所有边界点所组成的集合称为E的边界，记为B（E）.

若集合E的每个点都是它的内点，则称集合E为开集.

2.区域

在复平面上所谓“区域”仅指连通的开集，于是有如下定义。

定义2 复平面上具有下列性质的非空点集D称为区域（图1-5）：

（1）D是开集；

（2）D是连通的，就是指D中任意两点都可以用一条全属于D的折线连接起来.

区域D与其边界点集的并集构成闭区域，简称为闭域，记为.

另外，若存在一个圆域G为|z|＜R使集合E⊂G，则称E是有界的，否则称它是无界的，复平面上有界的区域和无界的区域分别简称为有界域和无界域.

注意 区域不包含任何它的边界点，闭区域不是区域，而闭区域也不一定有界.

例如，圆盘|z-z0|＜R是区域且是有界的，其边界为|z-z0|=R；而|z-z0|≤R只是闭区域，不是区域，又如半平面Re（z）≥1，它包含其边界直线x=Re（z）=1，它是无界闭区域而不是区域.

为了认识由复数的实部、虚部、模和辐角的不等式所表示的复数点集，可先将不等号改写成等号求出其边界，再分析其不等式所给出的图形.

例如，点集-3π/4＜arg（z）＜π/4，其边界是由点z=0和射线arg（z）=-3π/4，以及射线arg（z）=π/4所连成，它是区域，且是始边为arg（z）=-3π/4、顶点为z=0、张角为π的角形域，也是由不等式Im（z）＜Re（z）所给出的半平面区域.

3.单连域和多连域

简单闭曲线有一个明显的特征，它把整个复平面分成没有公共点的两个区域，一个是有界域称为它的内部，另一个是无界域称为它的外部，它们都以该曲线为边界，而不包含该曲线上的点.下面介绍单连域和多连域的概念.

定义3 若区域D内的任意一条简单闭曲线的内部完全属于D，则称D为单连通区域，简称为单连域，否则称它为多连域.

任一条简单闭曲线的内部、整个复平面、半个复平面Im（z）＞a或Re（z）＞b等都是单连域；并且除去原点和负实轴的复平面区域

-π＜arg（z）＜π

也是单连域（图1-6）.

任意一条简单闭曲线的外部，任一个去心邻域或环形域都是多连域.

当单连域和多连域再附加上其全部边界时，分别称它们为单连通闭域和多连通闭域.如不等式|z-1|≤|z+1|表示虚轴及其右边的半平面Re（z）≥0，它是单连通闭域.