2.6 光在液晶显示器中的传播
通过数值计算求出液晶指向矢的倾角θ和扭曲角φ后，利用琼斯矩阵法可以求出通过液晶显示器的光的透过率。琼斯矩阵是1941年由琼斯（Jones）所发明，非常方便
2.6.1 电动力学基础
光也是一种电磁波，它在媒质中传播时遵守电动力学中最基本的方程——麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组是由式（2.6.1）～式（2.6.4）组成的联立方程组。
其中
为电场强度，单位是V/m；
为位移电流，单位是C/m2；
为磁场强度，单位是A/m；
为磁感应强度，单位是V·s/m2；
ρ为电荷密度，单位是C/m3；
J为电流密度，单位是A/m2。
位移电流
和电场
之间的关系为
式中，ε0=8.85×10-12F/m，是真空介电常数，
是介电张量。
磁感应强度
和磁场强度
之间的关系为
式中，μ0=4π×10-7H/m是真空磁导率，
是磁导率张量。
假定介质中没有自由电子，麦克斯韦方程组简化为
当电磁波通过多层媒质时，满足以下边界条件
D2n-D1n=0 （2.6.11）
B2n-B1n=0 （2.6.12）
E2t-E1t=0 （2.6.13）
H2t-H1t=0 （2.6.14）
上式中，n表示平行界面方向，t表示垂直界面方向。在各向同性且均匀的介质中
麦克斯韦方程组简化为
从式（2.6.19）和式（2.6.20）得出
上式简化为
其解可表示为
式中，ω为角频率，k为波矢量（k=2π/λ′），λ′为光在介质中的波长。
式（2.6.23）代入到式（2.6.22），得到
光的传播速度为
真空中ε=1，μ=1，所以光在真空中的速度为
在非磁性介质中
式中
为折射率，ε为介电常数。波矢量k为
式中λ为光在真空中的波长。
式（2.6.23）代入到式（2.6.17），得到
式（2.6.30）说明，各向同性介质中，电场矢量
垂直于波矢量
光在均匀的各向同性的介质中传播时，电场矢量表示为式（2.6.23），即使时间和位置发生变化，电场的振幅始终保持不变。由于电场矢量的表示形式，有下列关系式
式（2.6.31）和式（2.6.32）代入到式（2.6.19）得出
从式（2.6.30）和式（2.6.33）得出，
和波矢量
相互正交
的大小为
。
从以上内容可知，单色平面波在均匀的各向同性介质中传播时，仅仅通过电场矢量就可以描述光的特性，其他量可通过电场矢量求出。换句话说，一束光的偏振状态可以通过电场矢量描述。在许多液晶显示器件中，液晶的作用是调节光的偏振状态。当一束光沿着z轴方向传播时，x轴和y轴方向的电场分量为
Ex=Axcos（ωt-kz+δx） （2.6.34）
Ey=Aycos（ωt-kz+δy） （2.6.35）
式中，Ax、Ay表示振幅，δx、δy表示位相，取值范围为-π＜δx，δy≤π，则x轴方向与y轴方向的位相差（δ=δy-δx）的取值范围为-π＜δ≤π，因此描述一束光的偏振状态仅需要两个参数，即振幅比Ay/Ax和位相差δ。根据振幅比Ay/Ax和位相差δ不同，光的偏振状态可分为线偏振、圆偏振和椭圆偏振等三种状态。
1.线偏振状态
当电场矢量在xy平面上沿某个固定方向振动，其大小、方向保持不变时，称为线偏振光。这时
δ=0或δ=π
电场矢量与x轴的夹角φ满足
2.圆偏振状态
当x轴和y轴方向的电场分量大小相同，位相差δ=±π/2时，电场分量表示为
Ex=Acos（ωt-kz） （2.6.37）
从以上两式可知，电场矢量的端点轨迹为圆。当δ=+π/2时，称右旋圆偏振光，当δ=-π/2时，称左旋圆偏振光。
3.椭圆偏振状态
当x轴和y轴方向的电场矢量大小不同，位相差为δ时，电场分量表示为
Ex=Axcos（ωt-kz） （2.6.39）
Ey=Aycos（ωt-kz+δ）=Aycos（ωt-kz）cosδ-Aysin（ωt-kz）sinδ （2.6.40）
式（2.6.39）与式（2.6.40）可简化为
上式为椭圆方程式。
假定x′和y′为沿椭圆主轴方向的坐标轴，则E′x和E′y满足下列方程式。
式中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。如图2.6.1所示，当x′轴和x轴的夹角为φ时，两个坐标系之间电场矢量的分量关系为
Ex=E′xcosφ-E′ysinφ （2.6.43）
Ey=E′ysinφ+E′ycosφ （2.6.44）
图2.6.1 椭圆偏振状态
从式（2.6.41）～式（2.6.44）得出
a2=A2xcos2φ+A2ysin2φ+2AxAycosδcosφsinφ （2.6.45）
b2=A2xsin2φ+A2ycos2φ-2AxAycosδcosφsinφ （2.6.46）
定义椭偏率角β为
从以述内容可知，光的偏振状态可用方位角φ和椭偏率角β表示。表2.6.1中列出了几种常用偏振光的表示法。
表2.6.1 常用偏振光的表示法
2.6.2 琼斯（Jones）矩阵法
一束偏振光通过具有偏振特性的光学系统后偏振状态将发生变化。新的偏振状态一般通过琼斯矩阵法计算，因为这种方法只需要数学上的矩阵运算，所以非常简单、实用。琼斯矩阵法中，偏振光的状态以琼斯向量表示，而其他线性光学元件则以琼斯矩阵表示。例如：当入射光通过偏振片时，入射光的琼斯向量与偏振片的琼斯矩阵相乘，就可以计算出出射光的偏振状态。
在琼斯矩阵运算中
，偏振光可表示为琼斯向量
如果只考虑光的偏振状态，可使用归一化的琼斯向量。也就是
。对于线偏振光，光的偏振方向与x轴的夹角为φ时，琼斯向量为
1. 2×2琼斯矩阵方法
建立一个直角坐标系，在这直角坐标系中xy平面与液晶的光轴平行，同时设定x轴沿液晶的光轴方向，+z沿光传播的方向。假设液晶中的寻常光和非寻常光的折射率分别为no、ne，则入射光与出射光的琼斯向量之间有如下关系
式中，Γ=2π（ne-no）d/λ是相位延迟项，d是液晶盒的厚度，λ是光在真空中的波长。上式中电场E的下标in表示入射光，out表示出射光。仅考虑相对值时，可以忽略e-i［π（ne+no）d/λ］项。定义相位延迟的琼斯矩阵G（Г）为
则式（2.6.51）可简化为
如图2.6.2所示，顺时针旋转xy坐标系β角，建立sp直角坐标系，使s轴平行于液晶光轴，则电场E在xy坐标系和sp坐标系的分量之间有以下关系
Ex=Escosβ+Epsinβ （2.6.54）
Ey=-Essinβ+Epcosβ （2.6.55）
上式表示为矩阵形式，则为
定义旋转变换矩阵为
则关于旋转变换矩阵有下列关系式
R-1（β）=R（-β） （2.6.58）
图2.6.2 xy坐标系顺时针旋转β角后形成的sp坐标系
假定入射偏振片的光轴方向平行于x轴，出射偏振片的光轴方向平行于y轴，且各向同性的均匀介质的光轴方向在入射面平行于s轴，在出射面平行于p轴时，入射光通过入射偏振片后，在sp坐标系上的琼斯向量为
入射到液晶上的光通过液晶层后出射的光的琼斯向量为
从液晶层出射的光通过出射偏振片后的光的琼斯向量为
如图2.6.3所示，液晶层分割为N等分，每层的厚度为Δd=d/N。第j层相对x轴的扭曲角为βj时，相位延迟为
Γj=2π［ne（z=jΔd）-no（z=jΔd）］Δd/λ（2.6.62）
由于第j层入射光的琼斯向量
等于第j-1层出射光琼斯向量
，所以第j层出射光琼斯向量
为
则液晶层的出射光
和
之间的关系为
图2.6.3 N等分的液晶层
通过一系列计算，最后得出
其中，φ是液晶层的总扭曲角。
如图2.6.4所示，入射偏振片的琼斯向量
，出射偏振片的琼斯向量
，其中αin和αout分别为入射偏振片与出射偏振片的偏振轴与x轴的夹角，则光通过出射偏振片后的琼斯矢量为
图2.6.4 入射偏振片与出射偏振片的偏振轴方向及液晶指向矢在入射面与出射面的方向
2.扩展2×2琼斯矩阵方法
2×2琼斯矩阵方法虽然简单实用，但是这种方法局限于入射光垂直基板入射，而且没有考虑界面处发生的多重反射。一般N等分的各液晶层的有效折射率都不相同，光在各层的界面上发生部分反射，反射光与入射光之间发生干涉，影响宏观的光学特性。如多重反射的法布里-珀罗（Fabry-Perot）干涉，具有波长选择性。某特定波长的光可以通过，而其他波长的光在界面反射。Berreman用4×4矩阵法计算出入射光倾斜入射时，光通过液晶层后的偏振状态，计算过程考虑了界面处发生的多重反射。虽然4×4矩阵方法能计算出精确的结果，但是计算过程复杂，不方便使用。忽略多重反射和入射光与反射光之间的干涉，仅考虑一次反射时，可简化为扩展2×2琼斯矩阵方法。
建立如图2.6.5所示的xyz直角坐标系。在此坐标系中，xy平面和玻璃表面平行，z轴方向从入射偏振片指向出射偏振片。假定液晶指向矢与xy平面间的夹角为θ，液晶指向矢在xy平面上的投影与x轴之间的夹角为φ，则液晶指向矢可表示为
如果入射光的波矢量为
与z轴间的夹角为θk，则波矢量可表示为
，其中
，λ是入射光的波长。
图2.6.5 直角坐标系中
在此坐标系下液晶的介电常数为
其中
ε11=n2o+（n2e-n2o）cos2θcos2φ
ε12=ε21=（n2e-n2o）cos2θcosφsinφ
ε22=n2o+（n2e-n2o）cos2θsin2φ
ε23=ε32=（n2e-n2o）cosθsinθsinφ
ε33=n2o+（n2e-n2o）sin2θ
ε31=ε13=（n2e-n2o）cosθsinθcosφ （2.6.70）
式中no和ne分别为寻常光和非寻常光的折射率。
通过液晶层的光的电场强度与磁场强度的解为，
其中，kx=k0sinθx，kz=k0cosθz
从麦克斯韦方程组可推导出以下式子
其中
，kx=sinθk，kz=cosθk。
从式（2.6.72）求解kz，就可求出光通过液晶层时的传播路径和相位。共有四个解，其中两个解沿+z方向传播，另外两个解沿-z方向传播，也就是反射波。当两个界面的有效折射率差很小时，反射波也很小，可以忽略不计。两个传播解为
对应的本征解Ex1，Ex2，Ey1，Ey2之间的关系为
其中
ex1=（κ2z1+κ2x-ε22）（κ2x-ε33）-ε23ε32
ey1=（κ2x-ε33）ε21+（κxκz1+ε31）ε23
ex2=（ε33-κ2x）ε12-（κxκz2+ε13）ε32
ey2=（ε11-κ2z2）（κ2x-ε33）+（κxκz2+ε31）（κxκz2+ε13） （2.6.75）
从（2.6.74）和（2.6.76）得出
另一方面，向量M通过各液晶层时产生相位延迟k0κz1和k0κz2，入射到各液晶层的光通过各层时的相位会发生变化。
将N等分的各液晶层的相位延迟相乘得出通过所有液晶层的相位延迟为
经过一系列计算得出光的总透过率T为
其中
，Re（np）是偏振片折射率的实部。