2.5 液晶指向矢分布的数值计算方法

本章的第二节详细说明了液晶在外场作用和边界条件下，根据自由能最小的原理求解新的平衡状态下液晶指向矢分布的方法，也就是求解欧拉-拉格朗日方程。但是实际上很多液晶显示模式的指向矢分布不能简单地通过解析方法解出，而要借助数值方法进行求解。数值方法除了求解平衡状态下的液晶指向矢分布之外，还可以求解动态过程中的液晶指向矢分布。本节以TN结构为例，介绍动态过程中液晶指向矢分布的数值计算方法。

2.5.1 动态平衡方程

如图2.5.1所示的直角坐标系中，指向矢与xy平面的夹角为θ，指向矢在xy平面上的投影与x轴的夹角为φ。假定指向矢沿着z轴发生变化，而与xy平面平行的面上指向矢取相同的值，即θ和φ只是z的函数，则液晶指向矢可表示为

设基板的配向能为无限大，则边界条件为

设液晶盒的厚度为d时，有如下关系

式中，φ=φ2-φ1，φ为液晶层的扭曲角。另一边界条件是

将指向矢的表示式（2.5.1）代入到式（2.2.1）中，得出液晶的弹性能密度为

假定施加的外加电场为，则电场能密度为

总自由能密度为

式（2.5.7）代入到动态平衡方程式，得到以下式子。

2.5.2 数值计算方法

式（2.5.8）与式（2.5.9）不能用解析方法，而是要通过数值计算方法求解。数值计算方法的基本思路是先将液晶层沿z轴方向等厚度分割为N层，各层的厚度为Δz=d/N，然后计算各层（i=0～N）中平均指向矢的θ（zi）和φ（zi），就可以求出液晶指向矢的分布。这时各层中平均指向矢的θ（zi）和φ（zi）随时间的变化满足式（2.5.8）与式（2.5.9），并收敛到稳定值。这种方法称为弛豫（Relaxation）法，下面以计算θ（zi）为例，说明驰豫法计算指向矢分布的方法。

（1）动态平衡方程改写为有限差分方程。动态平衡方程中的分别用以下式子代替

（2）设初期指向矢分布，并代入到有限差分方程中。

（3）求Δt后所有层的θ（zi，t+Δt）值。将式（2.5.10）～式（2.5.12）代入到式（2.5.8）中，则在（t+Δt）时液晶指向矢θ（zi，t+Δt）表示为θ（zi，t）、θ（zi±Δz，t）的函数。

（4）比较Δt后的θ（zi，t+Δt）与原θ（zi，t），如果差值小于设定的有效差范围时，θ（zi，t）被认为是液晶指向矢的方向。

如果Δt后的θ（zi，t+Δt）和原θ（zi，t）的差值大于设定的有效差范围时，Δt后的θ（zi，t+Δt）值代替原θ（zi，t）值后，重复步骤（3）和（4），直到差值小于设定的有效差范围。