2.3 弗里德里克斯转变（Fredericksz Transition）

在大部分液晶显示产品中，液晶是封装在两张玻璃板之间，组成液晶盒。液晶盒的玻璃内表面通常经过特殊处理，使与之相接触的液晶指向矢有确定的排列取向。在大多数情况下，取向层阻碍电场对液晶的作用，其结果是出现阈值场现象，即只有当场强大于阈值场时，液晶的指向矢才随外场发生形变。这种现象称为弗里德里克斯转变。图2.3.1描述了三种不同形式的弗里德里克斯转变。

本节利用欧拉-拉格朗日方程，分析图2.3.1中的三种转变。假设液晶盒的厚度为d，盒的两个玻璃内表面经过处理，使盒内指向矢平行玻璃表面排列，盒内的液晶是正性向列相液晶。

2.3.1 展曲形变

如图2.3.1（a）所示，液晶分子的指向矢初始方向平行于x轴，当施加的电场沿z轴方向时，指向矢趋向于平行电场的方向，即偏离x轴，转向z轴。由于上下玻璃基板表面的配向方向固定，液晶指向矢发生展曲形变和弯曲形变。假定液晶的指向矢始终在xz平面，θ为指向矢和x轴夹角，则指向矢表示为

式中，和分别为x方向、y方向和z方向的单位矢量。

对应于展曲形变项

扭曲形变项

弯曲形变项

从以上结果可知，液晶发生了展曲形变和弯曲形变。液晶的弹性能密度为

电场能密度为

总自由能密度为

单位面积的总自由能密度为

把总自由能密度的表示式（2.3.7）代入欧拉—拉格朗日方程，得出

如果仅仅考虑略大于阈值的小形变，则θ值很小，sinθ≈θ，cosθ≈1，忽略2次项，式（2.3.9）可简化成

从上式可知，在小形变近似下，只有展曲形变，而弯曲形变可以被忽略。方程（2.3.10）的一般解是

假定配向层的配向作用无限大，则指向矢的边界条件为θ=0（z=0，z=d时），因此B=0。根据z=d时的边界条件，可以得出

m=1时，对应的电场最小，此电场称为阈值电场Et，对应的电压称为阈值电压Vt。

从（2.3.13）式得出：

（1）阈值电场反比于盒厚，这是因为盒厚越小，液晶的弹性能越大；

（2）阈值电压与盒厚无关；

（3）通过测定阈值场强或者阈值电压可以确定展曲弹性系数K1，所以称这种形变为展曲形变。

2.3.2 弯曲形变

如图2.3.1（b）所示，液晶分子的指向矢初始方向垂直液晶盒，沿z轴方向，当施加的电场沿x轴方向时，指向矢偏离z轴，在xz平面内向x轴偏转。设θ为指向矢与z轴的夹角，则

对应于展曲形变项

扭曲形变项

弯曲形变项

从以上结果可知，液晶发生了展曲形变和弯曲形变。液晶的弹性能密度为

电场能密度为

总自由能密度为

将式（2.3.20）与式（2.3.9）进行比较，发现两种情况下总自由能密度的表达式只是将K1与K3位置互换。这样可以类比地得出：在小形变近似下，只有弯曲形变，而展曲形变可以被忽略，并可以得出阈值电场和阈值电压为

从上式可以得出如下结论：

（1）阈值电场反比于盒厚，这是因为盒厚越小，液晶的弹性能越大；

（2）阈值电压与盒厚无关；

（3）通过测定阈值场强或者阈值电压可以确定弯曲弹性系数K3，所以称这种形变为弯曲形变。

2.3.3 扭曲形变

如图2.3.1（c）所示，液晶分子的指向矢初始方向平行于x轴，且上下基板的指向矢取向互相平行。当施加的电场沿y轴方向时，指向矢偏离x轴，转向y轴。由于上下玻璃基板表面的配向方向固定，液晶指向矢将发生扭曲形变。

设指向矢与x轴的夹角为θ，而且指向矢只在xy平面内旋转，那么θ只是z的函数，指向矢表示为

假定基板的配向作用无限大，则存在如下边界条件

对应于展曲形变项

扭曲形变项

弯曲形变项

由于展曲形变项和弯曲形变项为零，液晶指向矢发生了纯粹的扭曲形变。液晶的弹性能密度为

电场能密度为

总自由能密度为

同理，在小形变近似下，可求出阈值电场和阈值电压为

从上式可知：

（1）阈值电场反比于盒厚，这是因为盒厚越小，液晶的弹性能越大；

（2）阈值电压与盒厚无关；

（3）通过测定阈值场强或者阈值电压可以确定扭曲弹性系数K2，所以称这种形变为扭曲形变。

2.3.4 动态弗里德里克斯效应

本节应用式（2.2.11）分析弗里德里克斯转变过程中液晶的动态行为。图2.3.1（c）所示的扭曲形变是最简单的动态过程，因为这时加在指向矢上的力矩没有引起分子质心的平移运动，且没有流体的流动。将式（2.3.29）的扭曲形变的总自由能f总代入到方程（2.2.11）中，得出

当从平衡态撤销电场，也就是电场从E降到0时，方程（2.3.31）简化为

对于图2.3.1（c）所示的扭曲形变，存在以下边界条件

分离变量法求解方程（2.3.32）得出

其中τm是第m个模式的弛豫时间，其表达式为

关断时间近似等于最慢的弛豫时间（m=1时），也就是

下面根据动态平衡方程分析开启时间。开启时间可近似认为施加的电压刚好超过阈值电压，只有m=1的模式被激发，扭曲角θ非常小。因sinθ≈θ，cosθ≈1，方程式（2.3.31）可以简化为

设其解为

代入到方程（2.3.37）中，得出

开启时间表示为

综合以上分析，得出如下结论：

（1）通过测量关断过程中的时间常数τoff，可以确定扭曲黏滞系数γ；

（2）开启时间和关断时间正比于d2，减小盒厚，可以缩短开启时间和关断时间；

（3）开启时间小于关断时间。