2.2 液晶的连续弹性体理论

液晶如流体一样没有位置有序性，但是由于取向指向矢的存在，当外部施加的压力传递到液晶后，液晶分子的指向矢在空间会发生形变。一般液晶分子的指向矢变化的距离L远远大于分子大小a（L≥1μm，而a～2nm），因此讨论液晶层的形变时，可以忽略分子量级的变化，而把液晶看成是一种连续介质。在撤销外部施加的压力后，液晶分子通过分子间的相互作用，又会弹性地恢复到原来的取向。液晶在外力作用下的指向矢形变有点类似于固体的弹性形变，所以也称之为弹性形变。如图2.2.1所示，通过适当的表面处理或施加外部压力，使液晶指向矢在左侧和右侧的取向方向如箭头方向时，液晶形变将表现为连续的弹性形变。

液晶在外场作用下发生形变时，液晶的自由能也会随之发生变化。液晶的自由能由两部分组成，一是液晶的弹性形变引起的弹性能，二是与外场相互作用下的自由能。按照自由能最小原理，液晶在外场作用下重新排列，使液晶的总自由能趋向最小，最终达到新的平衡状态，这就是液晶的连续弹性体理论的基本思路。本节以向列相液晶在电场作用下的形变为例，介绍液晶的连续弹性体理论。

2.2.1 液晶的弹性能密度

连续弹性体理论讨论的是在外场作用下，液晶平衡态的变化，即液晶指向矢的变化。为此，需要引进一个与形变有关的自由能，通过求解自由能的最小值确定外场作用下的新平衡态。

如图2.2.2所示，向列相液晶的指向矢形变有三种基本的类型，它们分别是短轴方向的展曲（Splay）形变、长轴方向的扭曲（Twist）形变和长轴方向的弯曲（Bend）形变，其他复杂的形变都可分解为上述三种基本形变。假设指向矢的形变随位置的变化是缓慢而连续的，则可以利用指向矢的微分描述它的形变。从三种形变的特点可以得出，展曲形变对应于；扭曲形变对应于；弯曲形变对应于。

当液晶发生的形变较小时，液晶的弹性能密度f弹（单位体积的弹性能）可以用指向矢变化量的一阶或二阶项的函数来表示，也就是

式中，K1、K2、K3分别为展曲、扭曲、弯曲弹性系数，上式中右边的三项分别为展曲、扭曲和弯曲形变的能量。大部分向列相液晶的弹性系数大小满足K3＞K1＞K2，三个弹性系数的典型值均为10-11N左右。例如，室温下测得的5CB液晶的弹性系数分别为K1=0.64×10-11N，K2=0.3×10-11N和K3=1.0×10-11N。

对于胆甾相液晶，弹性能密度f弹中增加一项与螺距有关的项，即为

式中，q0=±2π/P，其中P为胆甾相液晶的螺距，正负号表示胆甾相液晶的螺旋转动方向，正号表示右螺旋，负号表示左螺旋。

2.2.2 液晶在电场中的自由能密度

液晶是各向异性的物质，平行于指向矢方向的介电常数ε｜｜和垂直于指向矢方向的介电常数ε⊥数值不相同。当外部电场施加于液晶时，电位移矢量和电场强度矢量之间有如下关系：

式中，表示液晶指向矢，Δε为介电常数差，定义为

Δε=ε｜｜-ε⊥ （2.2.4）

介电常数差取决于液晶分子的化学结构和指向矢的取向有序度。各向同性时Δε为0。

液晶在电场中的电场能密度如下式表示。

上式右边的第一项与外部电场的施加方向无关，但第二项是非常有趣的项。Δε＞0时，内积值越大，电场能越小，指向矢趋向于平行电场的方向；而Δε＜0时，内积值越小，电场能也越小，所以指向矢趋向于垂直电场的方向。基于这种原理，弗里德里克斯发现了液晶中的转变现象，关于弗里德里克斯转变将在2.3节中做详细的介绍。

有时为了计算方便，与指向矢形变无关的电场能设为零，则式（2.2.5）简化为

2.2.3 平衡态下液晶指向矢分布计算

如前一节所述，液晶处于外加电场中时，外加电场使液晶分子的取向发生变化，液晶分子或趋于外加电场方向取向或趋于垂直外加电场方向取向，取向原则是使液晶的总自由能达到最小的状态。当液晶的总自由能最小时，液晶处于新的平衡状态。总自由能的表示式为

式中，f总代表液晶的弹性能密度与电场能密度之和。考虑最简单的情况，假设液晶夹在两个平行基板之间，与基板平面垂直的方向为z轴，两个基板分别位于z=0和z=d的位置，z=0平面为xy平面，指向矢与x轴的夹角为θ，而且指向矢只是θ的函数。当液晶在上下基板表面的配向作用很强时，指向矢在上下基板表面的边界条件为

在上述条件下，总的自由能（单位面积的自由能）改写为

通过变分法δF=0推导出使总能量F最小的条件为

上式称为欧拉-拉格朗日方程。求解微分方程式（2.2.10），并代入边界条件就得到指向矢的函数表达式。

2.2.4 动态平衡方程

液晶在外加电场作用下达到新的平衡状态的过程，实际上是液晶指向矢取向发生变化的动力学过程。在此动态过程中两种力矩始终处于平衡状态，也就是液晶的黏滞力形成的力矩和液晶的弹性形变以及电场引起的液晶指向矢形变形成的力矩。液晶的黏滞力形成的力矩等于液晶的旋转黏滞系数γ和角速度的乘积。动态平衡方程表示为数学形式，则为

式中，f是总自由能，θ是液晶分子的扭曲角，γ是旋转黏度系数，单位是N·s/m2。