2.2.2　李代数基础

李代数是由一个集合、一个数域和一个李括号运算组成的代数结构，可表述为（），用于表示被赋予李括号运算的线性空间。李代数的定义需要其满足下述条件[7]。

（1）封闭性：若，则有。

（2）分配率：若且，则有。

（3）自反性：若，则有。

（4）反对称性：若，则有。

（5）雅克比恒等式：若，则有。

事实上，李括号运算是任意线性空间中的一种广义的向量乘法，其不仅适用于任意维度的实向量空间，也适用于复数空间和对偶空间。具体来说，在三维空间中，向量的叉乘运算即为该空间的李括号运算。

李代数的一个重要作用在于其能够反映李群的局部特性，并且李群和李代数之间满足下述双射关系。

● 李群到李代数的对数映射：

（2-49）

● 李代数到李群的指数映射：

（2-50）

更具体地说，李代数实际上是李群在其幺元处的切空间，它能够完全捕获李群的局部结构，并可表示为

（2-51）

至此我们可以看出，有了李群和李代数之间的映射关系，我们就可以将流形空间中待求解的问题表示成对应的线性空间中的李代数结构，从而使得利用线性空间中的模型和算法成为可能。

1．李代数

我们再回头分析旋转矩阵构成的李群SO(3)，其对应的李代数则记为。结合李代数和李群之间的映射关系可知，的元素应为三维线性空间中的矩阵。若为对应的李代数，则结合的指数映射关系可知

（2-52）

另外，结合罗德里格斯旋转公式［见式（2-22）］以及指数函数的泰勒级数展开式，对旋转向量取指数映射，可得下述等式关系：

（2-53）

对于反对称矩阵的乘积，我们可以推导出其具有下述特性：

（2-54）

因此，式（2-53）可进一步简化为

（2-55）

至此我们可以看出，对于，对应的李代数，其中和分别为对应的旋转向量表达中的旋转角和单位转轴向量。由于反对称操作满足数乘运算，令，对应的欧氏空间中的三维向量为，李代数可具体表示为

（2-56）

此外，空间可由下述三组基表示，其中每个基表示绕某个轴的微小旋转。

,,　　（2-57）

由此，我们也可进一步将空间中的元素表示为上述三组基下的向量形式：

（2-58）

结合对数函数的泰勒级数展开式，我们也可得到由李群到李代数的对数映射关系，这里不再展开推导。如图2-11所示，我们最终可以得到旋转矩阵和李代数以及三维向量之间的关系如下：

（2-59）

（2-60）

图2-11　向量、李代数和李群之间的关系示意图

其中和分别为反对称操作与其逆操作，并有

（2-61）

（2-62）

2．李代数

进一步地，对于由齐次变换矩阵构成的李群，我们将对应的李代数命名为。由式（2-63）中旋转矩阵的结构可知：是由矩阵组成的空间。

，，　　（2-63）

该空间可由下述6组基表示，其中每个基表示绕某个轴的微小旋转或者沿某个轴的微小移动。

，，

，，　

（2-64）

故可具体描述为

（2-65）

若为对应的李代数元素，则使用上述基可将其表示为下述矢量形式：

（2-66）

中的前三维表示位移，后三维表示旋转。根据李代数到李群的指数映射关系，对取指数，于是有

（2-67）

其中：

（2-68）

在式（2-67）中，同样有，和为齐次变换矩阵中旋转矩阵对应的轴角表示，并可据此推导出李代数中位移分量与齐次变换矩阵中位移分量之间的关系如下：

（2-69）

3．“”“”操作的定义

下面进一步引入流形空间上的“”“”操作[8]，以便我们在后续章节中描述汽车的旋转和平移变换。令为系统状态变量所在的流形空间，为该流形空间的维度，和是局部同胚的，通过“”“”操作可在幺元的局部邻域内与其正切空间之间建立下述双映射关系：

，　　（2-70）

假设我们已知，为其正切空间上的一个扰动矢量，则的物理含义如图2-12所示。

图2-12　“”操作原理示意图

进一步地，对于复合流形，则有

，　　（2-71）

其中，为旋转矩阵，为旋转向量，，和分别表示旋转矩阵和旋转向量之间的罗德里格斯变换。