2.2.1　李群基础

1．群

群是抽象代数学中的一个基本概念，通常表示为由有限或无限个元素构成的集合加上一种运算（群运算）的代数结构。对于群G，若*为群操作，集合为S，则该群可以表示为G=(S,*)。群的定义需要其满足下述条件[3]。

（1）封闭性：若，则有。

（2）结合律：若，则有。

（3）幺元：必定存在一个单位元素，对于任意的均有。

（4）逆：若，则必定存在其逆元素，使得。

有了上述群的定义，我们再回头看旋转矩阵和齐次矩阵，可以看出它们均符合群的定义。具体地说，三维旋转矩阵实际上构成了特殊正交群SO(3)，三维齐次变换矩阵的集合则为特殊欧氏群SE(3)，具体可表述为

（2-45）

（2-46）

同时，和均只对乘法操作封闭，而对加法操作不封闭，故其群操作为二元乘法。对于任意两个旋转矩阵和以及齐次变换矩阵和，即有

，　　（2-47）

，　　（2-48）

2．流形

一个D-维流形是局部具有D维欧氏空间性质的拓扑空间，它是局部同胚与欧氏空间的[4]。其中，同胚是拓扑学中的基本概念。简单地说，对于两个流形A和B，如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作实现A到B的转换，则认为两者是同胚的。我们可以看出，流形是线性子空间的一种非线性推广，我们日常接触到的圆周、球面分别是一维和二维流形。结合流形的定义，可知一个D-维流形M在每个点处都有一个对应的切空间，该切空间的维度为D。图2-10展示了嵌入三维坐标系的一个二维流形在点a处的切空间为二维平面，其切空间的向量基为[5]。

图2-10　一个二维流形及其切平面

3．李群

在介绍了群和流形的概念后，我们便可以引出李群的概念。学者们为纪念挪威数学家Sophus Lie在连续变换群领域做出的突出贡献，将具有群结构的光滑微分流形命名为李群[6]。具体地说，若G为一个群，同时它又是D维空间的一个流形，并且其群乘积和取逆操作都是平滑函数，则G为一个李群。进一步讲，本书所关注的旋转矩阵构成的SO(3)群、四元数群以及齐次变换矩阵构成的SE(3)群实际上均是李群。