第一部分
在波兰成长的数学家
第一章
童年
1909—1927
我的父亲约瑟夫·乌拉姆是一名律师，1877年出生在波兰的利沃夫。利沃夫在他出生那会儿还是作为奥匈帝国一部分的加利西亚省的首府，直到1909年我出生的时候依然如此。
他的父亲，即我的祖父，是一名建筑师兼建筑承包商。据我所知，他是从威尼斯迁来利沃夫的。
我母亲安娜·奥尔巴赫出生在斯特利，利沃夫以南约六十英里的一座小镇，坐落于喀尔巴阡山侧。她的父亲是一位实业家，在加利西亚和匈牙利经营钢铁生意、管理工厂。
我最早的记忆之一是和父亲一起坐在窗台上，观看街上因为皇储[5]访问利沃夫而举行的盛大游行。那时我还不满三岁。
记得我妹妹出生时，人们告知我一个小女孩已经降临人世，一种难以名状的感觉涌上心头，让年仅三岁的我有一种长大了的感觉。
我还记得自己四岁时，在一张东方风格的地毯上一边跳来跳去，一边低头观赏上面错综复杂的图案。父亲高大的身形就立在我旁边，我注意到他在微笑。我认为“他是因为我的稚气而发笑，却不知道我已经能够理解那些图案的不寻常之处”，当然那时我还不能用这样的语句思考，但我坚信我是当时而不是事后才产生这个想法的。我明确地感到：“我懂得父亲不知道的某些东西，也许我比父亲更有头脑。”
我还能记起和家人一起去威尼斯旅行。我们乘交通汽艇在运河上航行，我手中的气球掉到了水里。气球贴着船舷上下浮动，父亲尝试用手杖的曲柄把它钩上来，却失败了。为了安慰我，家人允许我挑选一个用威尼斯珠子制作的贡多拉[6]模型纪念品，我至今仍然记得得到这项“任务”时的自豪感。
记得第一次世界大战开始时，当奥地利、德国和保加利亚作为“同盟国”一方与法国、英国、俄国和意大利对抗时，年少的我是同盟国的拥戴者。大多数讲波兰语的人都是民族主义者，反对奥地利。但我在八岁的时候还写过一首赞颂奥德两军胜利的小诗。
早在1914年，俄国军队就曾进入加利西亚并占领利沃夫。我们一家被迫跑到维也纳去避难。在维也纳我学习了德语，但在家里我们都说母语波兰语。
我们住在圣斯蒂芬大教堂对面的一家旅馆里。奇怪的是，尽管我后来曾许多次造访维也纳，但直到1966年的一天和妻子一起在街头漫步时，我才又一次认出了这座建筑。或许是因为当时我们恰好在谈论我的童年，我忽然想起它并把它指给妻子看，与此同时，许多尘封了半个世纪的往事也纷纷涌入我的脑海。
同样是那次造访维也纳时，当我穿行在普拉特公园中，眼前的一家室外咖啡馆忽然把我拉回记忆里。那时我因为某种哮喘症状发作，在风中窒息，一切就发生在这同一家咖啡馆前面。很多年后，在威斯康星州的麦迪逊，我曾有过一次类似的发作。奇特的是，当时的感觉并没能让我回忆起童年的这次经历。只有在再次身临其境时，在视觉联想的作用下，那种遥远记忆中的感觉才又回到我身上。
我不会去刻意描述一个六岁孩子眼中的维也纳印象。有一次，我戴着一种军帽，在卡特纳大街（维也纳的主要街道之一）遇到一名军官向我行礼，我清楚地记得当时满心喜悦的感觉。但当有人提到美国可能拥有上万架飞机时（有过这种谣传），我开始怀疑同盟国是否还能取胜了。
在维也纳的这段时间，我开始学习阅读。像一生中诸多求学经历一样，一开头体验总是不愉快的，艰难又有几分痛苦。经过一段时间，走上正轨后，就变得容易多了。记得我走在街上，兴高采烈地大声读出看到的各种标识，没准把父母都给弄烦了。
那时我父亲是隶属于奥军陆军司令部的一名军官，我们因此频繁迁徙。我在俄斯特拉发住过一段时间，并在那儿上过学。在学校，我们要学乘法表，而我感到学算术有点儿头疼。有一次，我因为感冒待在家里，那时正学到6乘7，我确信等我回去上课时，其他同学就已经在学12乘15了。记得我自学到10乘10，剩下的则求助于家庭教师。由于总是到处搬迁，我没法有规律地去上学。
还记得父亲有时会拿一本儿童版《堂吉诃德》读给我听，里面有些现在感觉只能令人莞尔的章节，当时却令我捧腹。我觉得，堂吉诃德大战风车的场景是我能想象出的最好笑的事情。
以上这些记忆中的视觉画面，虽不能说多令人怀旧，却带着一种明晰的体验感，在我记忆中留下清晰的联结烙印。它们携带着不同强度、不同色彩、不同构图的意识，也混杂着一些并不明确是幸福还是疑虑的情感。它们确实在大脑的不同部分同时上演着，并制造出了一种类似音乐旋律的感觉。这是我感情的再建。人们在记忆中往往能够保留这些随机的画面，奇妙的是，它们能持续一生。
一些特定场景容易被记忆存取，但许多其他的印象也很可能持续留存。在有的实验中，当病人的大脑被手术探针触碰时，某些过去的画面会再现。这些画面可以从记忆中被唤起，有着好像不随时间而变化的色彩和味道。通过回忆重建这些往事时，它们并未被改变或更新。就我对自身的观察而言，自这些印象起始的演绎链条，现在和我小时候并无多大分别。如今当我看到某些事物，如一把椅子、一棵树或一根电话线时，会引发一连串的联想。这串联想的演进路线，与我能忆起的五六岁时的情形十分相似。我看一根电话线时，能够清楚地回忆起它曾带给我的某种抽象的或是数学的冲动。我好奇是否有其他东西能激起同样的感觉，这是一种泛化的尝试。
也许人脑中的记忆存储在很小年龄就已经在很大程度上成形了，后来的外部刺激则是启动了沿着各个记忆频道对印象加以记录和分类的过程，而这些频道早在人的幼年就已经大量存在了。
研究事物在记忆中归档的机制，显然对分析人的思想大有帮助。要搞清楚人是如何理解一段文本、一种新的理论，又或一个数学证明，有意地去关注其思维的时序和内在逻辑是个不错的角度。就我所知，在对记忆本质的研究上，专家和业余爱好者在这方面的工作都还不够。在我看来，有了计算机实验手段的帮助，在联想的本质等方面，还可以挖掘出很多东西。这种研究可能要涉及对概念、符号、符号的类、类的类等的分级，就如同对数学或物理结构的复杂性进行探究时所做的那样。
在思维链中必定存在某种巧妙的机制，一种递归公式。一组神经元有时在没有外部推动的情况下也能够自动开始工作。这是一种自带生长模式的迭代过程。它在大脑中徜徉，并且它的发生必定依赖相似模式的记忆。
目前人们对此还所知甚少。也许一百年内它会成为一门迷人的新科学的一部分。像约翰·冯·诺伊曼这样的科学家对人脑和电脑的工作机制进行类比研究，是在不久之前才开始的。更早的时候，人们还认为心脏是思维的核心器官，之后大脑的角色才逐渐被揭示出来，或许实际上思维有赖于感觉的总体。
我们习惯于把思维想成一种线性的经验，比如所谓的“思路”。但潜意识的思维可能更为复杂。像视网膜上可以同时产生多种视觉印象一样，大脑本身是否也可以承载同时发生的、并行的、各自独立起源的抽象印象呢？在我们头脑中发生的某件事，其过程并不是简单地串在一条线上的。未来也许会有某种记忆检索理论，记忆检索并不是靠单个的传感器四处扫描，而是可能像许多人一起搜救在森林中迷路的人一样。这是一个查找和检索类问题——组合数学中最重要的领域之一。
当某人忽然记起一个被遗忘的单词或名字时，会发生什么呢？他尝试唤起记忆时会做些什么呢？变化潜意识地发生着，通过多种途径来完成：声音或文字，长话或短词。这必然意味着语汇在记忆中是被多重归档的，如果仅仅存储在单一的地方，就可能无法被复原了。时间同样是个变量，尽管在意识中也许只有一个时间点，但在潜意识里可能存在多个。于是就有了合成和归纳的机制。不知是否有人能创立这样一种巧妙的自动检索系统，不必遍历一切就能够查找出正确的元素。
谈了这许多对记忆的考察，扯得有些远了。让我回到对人生经历的叙述上来。我真希望自己拥有弗拉基米尔·纳博科夫那种能力，通过几幅过去的画面就能够唤起记忆的全景。的确，艺术家能够描绘出视网膜上整组映像的本质功能和属性。大脑就是通过这些基本的东西在记忆中进行概括和存储的，如同一位漫画家用简单几笔就能描绘人脸的本质特征一样。从数学上说，这些就是函数的全局特征，或者说是点集所对应的图形。这么形容，听起来更加乏味，无非是说得更形式化一些。
1918年，我们回到了利沃夫，此时它已经成为新成立的波兰共和国的一部分。当年10月，乌克兰人包围了这座仅有少量士兵和武装市民守卫的城市。我家的房子算是位于城中相对安全的地带，虽说也会有零星的炮弹落在附近。正因为我家较安全些，不少亲戚都来和我们同住，大概得有三十人，其中一半是儿童。床远远不够用，我记得大家在卷起的地毯上四处席地而卧。炮击的时候，我们不得不躲到地下室去。还记得当母亲催我赶紧下楼时，我还坚持要把鞋穿好。那种时刻对成年人而言可以说是十分艰难的，但对我们孩子来说却未必。说来很奇怪，我对那段时光的记忆，多是和其他孩子一起玩耍、捉迷藏、学习纸牌游戏时的快乐。这样的日子持续了两周，直到另一支从法国赶来的波兰军队打败围攻者，给城市解了围。对孩子来说，战争时期的记忆并不总是令人恐惧的。
苏波战争期间，1920年，利沃夫再次受到威胁。布琼尼的骑兵突进到离我们仅五十英里处，但毕苏斯基在华沙前线取得的胜利挽救了南方战线，结束了战争。
1919年我十岁时，通过了文理学校的入学考试，这是一类仿效德国文理学校和法国公立中学而开设的学校，学制通常为八年。除了习字和绘画，其他科目我都能拿到A等，但我并没有在课内学习上特别下功夫。
在我所接受的教育中，化学是缺漏之一。我在学校里没怎么学过化学，以至于五十年后的今天，虽然我对生物学颇有兴趣，但化学的短板妨碍了我对基础生物化学的研究。
好像也是在这时，我发现我的双眼视力不太正常。事情经过是这样的：班上的男生依次检查视力，在排队等待读视力表时，我惊恐地发现自己的右眼只能看清最大的字母。我生怕因此被开除出学校，于是就把视力表背了下来。我想这应该是我人生中第一次有意作弊。当轮到我时，我令人满意地“读”完表后就被放走了，但我自己清楚我的双眼视力不一样，一只眼近视，另一只眼正常，后来它发展成了远视。我这种十分罕见却也广为人知的情况，显然是遗传导致的。我依旧从不戴眼镜，尽管阅读印刷文字时不得不凑近去看，以便近视的那只眼睛能看清。通常我并不清楚究竟在使用哪只眼睛。后来，麦迪逊的一位医生告诉我，这种情况有时比正常人更有好处，因为一只眼睛工作时，另一只眼睛可以得到休息。我怀疑我这种特殊的视力，不仅影响了我的阅读习惯，可能也影响了我的思维习惯。
当我试着回忆是如何开始培养起对科学的兴趣时，不可避免地要追溯到一本那时流行的天文学书中的某些图片。那是一本名为《恒星天文学》的教科书，作者马丁·恩斯特是利沃夫大学的天文学教授。书中有一张艾萨克·牛顿爵士的肖像。当时我是九、十岁的样子，那个年龄的孩子并不会对漂亮的脸蛋做出有意识的反应。但我清楚地记得我感觉那张肖像棒极了，特别是那双眼睛。那张面庞同时散发出有形的吸引力和神秘的美感。后来我了解到，那是戈弗雷·内勒所绘的牛顿年轻时的肖像，画中人身着开领衫，长发披肩。其他我印象深刻的插图还有土星的光环和木星的云带。它们给了我某种惊奇感，这滋味难以描述，有时与某些非视觉的印象相通，比如从精巧的科学论证案例所获得的感觉。但这感觉会时时重现，直到老年依然如此，如同某种熟悉的香气会重现一样。偶尔一股气息会重新袭来，带来与之相符的童年或青年的记忆。
如今在阅读关于天文现象的描述时，这些视觉的记忆会重现，当新的思想产生或新的对脑力劳动的渴望忽然浮现时，它们会伴着一种怀旧的（并非忧郁的，而是愉快的）感觉再现。
我对天文学兴趣的高峰，同时也是一段难忘的燃情时光，是我叔叔希蒙·乌拉姆送给我一架小型望远镜的时候。那是一款用黄铜或青铜管制作、带两英寸[7]物镜的折射望远镜。
时至今日，当我在古董店看到这类仪器时，仍会被怀旧感所掌控。哪怕已经时隔数十年，我的思绪依然会转向对苍穹奇观的想象和对新的天文学问题的思考。
那时我为很多未知的事物着迷，比如恩克彗星的周期变短问题。恩克彗星以约三年的周期围绕太阳运行，人们发现这一周期在无规则地、难以捉摸地缩短。19世纪的天文学家尝试做出过几种解释，如归因于摩擦力或者某些空间中尚未观测到的新天体。令我兴奋的是，还没有人真正知道答案。我曾猜测，这是不是因为牛顿的万有引力实际上并不精确遵循平方反比律。我试着推想，如果反比的指数稍微偏离2的话，将如何影响彗星的周期，想象在各种不同的距离上结果分别会是什么。这种推算的尝试并非基于数字和符号，而是几乎源自触觉与推理的结合，是一种奇妙的智力挑战。
在我心目中，没有星星是足够大的。参宿四和心宿二被认为比太阳要大许多（虽然那时还没有得到精确的数据），它们与我们的距离已经像其他许多恒星一样通过视差法求出了。我背下了众多星座的名字，还记住了很多恒星源自阿拉伯语的名字，以及它们的距离和光度。我对双星也有不少了解。
除了恩斯特那本激动人心的著作外，另一本名为《行星和行星上的生存条件》的书对我来说也很特别。很快我的藏书里就有了八到十本天文书，包括纽科姆[8]也很令我着迷，激励着我去成为一名天文学家或物理学家。这是我大概十一岁的时候在一个笔记本上写下的签名：“S.乌拉姆，天文学家、物理学家和数学家。”我对天文学的热爱从未中止过，我相信它是把我领向数学的路径之一。
用今天的眼光看，利沃夫像是一座乡间性城市，但实际上并非如此。科学家们经常会面向公众做讲座，主题涵盖了天文学新发现、相对论和其他物理学前沿等，吸引了律师、医生、商人等非专业人士参与。
弗洛伊德和他的精神分析学也是一个流行的讲座主题，当然，相比之下相对论要难懂许多。
1919年至1920年间，报纸和杂志上充斥着关于相对论的东西，这让我决心搞明白它是怎么回事。我参加了一些关于相对论的通俗讲座。我并不真正清楚它的理论细节，但对其主旨有着很好的思路。这很像小时候学习语言，虽然对语法一无所知，却能够用它说话。即使在严格的科学领域，也可能在不具备完整的基础知识的前提下，对某些东西的主旨有所领悟，这足够令人称奇。我并未详尽考察狭义相对论的数学细节，却能理解其要领乃至某些结果。我认为这种所谓理解并不是那种非是即非的命题。但目前我们并没有一种能够定量衡量理论知识的水平或程度的方法。
我的兴趣为我父亲和朋友们所知，他们认定我已经“理解”了相对论。父亲曾说：“这孩子看来懂爱因斯坦呢！”他们给我这样的荣誉，让我感觉必须坚持下去，即便我清楚自己实际上对理论细节一点儿也不了解。无论如何，从此我开始有了“神童”的美誉，这激励着我深入研习流行的科学著作，我确信很多后来成长为科学家的孩子都曾有过类似的经历。
孩子是如何获得对其未来有着决定性影响的习惯和兴趣的，这一问题尚未得到充分研究。“抄袭”似乎是一种可能的解释，这种孩童拥有的神奇能力让他们能够模仿复制外在的印象，如母亲的微笑。另一种解释是可能源自人类天生的好奇心：为什么人不仅限于响应刺激，而是能主动寻求新的体验呢？
偏好也许是大脑中可遗传的联结系统的一部分，这种遗传特征或许都不依赖神经元的物理排布。头痛很明显与脑中血液循环是否顺畅有关，这取决于脑血管的粗细。或许就思维而言，与通常认为的神经元排布相比，神经“通路”起着更重要的作用。
对于一个新领域的探求，最初偶然的成败可能会是决定性的影响因素。我相信记忆质量的好坏同样是由初始偶然事件所左右的，也受外部因素的影响，或者碰巧是二者共同作用的结果。
以国际象棋方面的天赋为例，何塞·卡帕布兰卡[9]六岁时通过观看父亲和叔叔对弈来学棋。他自然地、不费力地提高了棋艺，如同孩子学习语言一样，与成年人吃力地学习新科目截然不同。其他著名的棋手同样通过观看亲人对弈培养了对下棋的最初兴趣。在尝试下棋时，最开始的成功激励着他们走下去。没有什么比成功更棒，特别是在童年期间，这是广为人知的事实。
我是从父亲那里学习下棋的。他有一本关于国际象棋的平装小书，常常把书里描述的著名棋局讲给我听。其中骑士的走法很吸引我，特别是用一枚骑士同时威胁对方两枚棋子的招式。虽然这只是简单的策略，但我当时感觉非常了不起，并从此爱上了下棋。
同样的过程是否也适用于数学天赋呢？一个孩子在最初习数时获得了成功的体验，随后进一步体验并通过建立经验储备来扩展他的记忆。
我很早就对数学产生了好奇心。父亲的藏书中有一套很棒的德文平装书，名为Reklam。其中一本是欧拉的《代数学》。我大概十岁或十一岁时读到了它，它给了我一种神秘感。书中的符号看上去就像魔法标记，我好奇是否有朝一日能看懂它们。这段经历可能有助于我发展对数学的好奇心。我是自己探索出如何求解二次方程的，记得在这一过程中我的精神不可思议地集中，经历了几乎是痛苦的，又有几分无意识的奋斗。我没有用纸和笔，只凭头脑完成了二次方的计算。
在高中时，我为奇完全数的存在性问题所吸引。一个整数如果恰好等于不包括自身的所有因数（包括1在内）的和，我们就说它是完全的。例如6=1+2+3是完全的，又如28=1+2+4+7+14。那么是否存在符合此要求的奇数呢？迄今尚无结论。
大体上说，校内的数学课无法令我满意，很枯燥，我也不愿意死记硬背那些标准的解题步骤，所以我宁愿自学。
大约十五岁时，我研读了格哈特·科瓦列夫斯基著作中关于无穷小量计算的论述。虽然我的解析几何甚至是三角学预备知识都嫌不足，但其中关于极限的思想、实数的定义、导数和积分的概念令我虽然困惑但又非常兴奋。我决定每天读一两页，同时尝试用其他书来补习与三角学和解析几何相关的必要知识。
在一家二手书店我又找到了两本书：谢尔宾斯基的《集合理论》和另一本关于数论的专著。在十七岁时，我对初等数论的了解绝不比现在少。
我还读了数学家雨果·斯坦豪斯名为《数学是什么，不是什么》的著作，以及庞加莱几部令人惊叹的大作，《科学与假设》、《科学与方法》、《科学的价值》和《最后的沉思》的波兰语译本。这几部书不仅在科学方面，即使从文学水平上看也令人赞赏。我科学思想的一部分就是以庞加莱为模板的。如今再读他的书，虽然数学已经发生了翻天覆地的变化，物理学甚至变化更大，但能看到许多美妙的真理依然故我。我同样欣赏斯坦豪斯的著作，因为其中给出了很多实际的数学问题。
学校教授的数学局限于代数、三角和很初步的解析几何。在七年级和八年级，学生十六七岁时，有一门关于初等逻辑和哲学史概论的课程，主讲人扎沃斯基是一位真正的学者，在大学里兼讲师，富有感染力。他让我们对现代高等逻辑学的发展状况有了大致的了解。课外读了谢尔宾斯基的著作后，我课间能够在他的办公室里和他开展关于集合论的讨论。我那时还在研究有关超限数和连续统假设的一些问题。
我还参与到热烈的数学讨论中，近乎异想天开地探讨宏大的新课题、问题、理论和方法。与我一起探讨的是一个名叫梅茨格的男生，比我高三四个年级。是父亲的朋友把他介绍给我的，他们知道他对数学也有着浓厚的兴趣。梅茨格身材矮胖，金发，是典型的自由犹太人形象。后来我看到一幅海涅年轻时的肖像时，联想到了他的脸。到现在还不时能见到他这种类型的人，他们表现出业余性，即使在最基础的算术上也是如此。我们在几乎不了解已有的数学材料的前提下，对迭代计算进行了探讨。他表现得很“狂热”，充满着标新立异的冲动，很符合犹太人的特征。斯特凡·巴拿赫曾经指出，某些犹太人总试图改变既有的思想体系，不管是耶稣、马克思、弗洛伊德还是康托尔的。而梅茨格只算是在很小的程度上表现出这种倾向。如果他接受过更好的教育，也许能做出些好事。但他显然出身于很贫穷的家庭，他的波兰语带着很重的喉音。几个月后，他忽然不知所终了。这是我这些年来第一次想起他，或许他还活着吧。关于他以及我们之间讨论的回忆，使我们进行抽象的交流时那种特有的气息和色彩又闪现出来。
足以为怪的是，在这个幼稚的年龄，我偶尔还会尝试对自己的思维过程进行分析。我试图对这一过程建立更清醒的认识，每隔一小段时间就回顾一遍，看看是什么塑造了我的思路。毋庸讳言，我完全清楚，过多、过于频繁地沉溺于这种内省是危险的。
至此，我对天文学家、科学家，特别是对数学家的概念，几乎全部来自阅读。而首次获得这方面的鲜活印象，是在1926年参加一系列数学普及讲座时。连日里，雨果·斯坦豪斯、斯塔尼斯拉夫·鲁杰维奇、斯特凡·巴拿赫等人相继开讲。首先令我惊讶的是，他们都十分年轻。之前耳闻目睹他们的成果时，总以为这是一群长胡子的老学究。我贪婪地听着他们的讲座。年少的我对巴拿赫的印象是，他是一位朴素的天才。这个第一印象在我们后来长期的相识、合作和友谊中一直保持着，当然又不断地有所加深、丰富和变化。
后来到了1927年，扎沃斯基告诉我在利沃夫要召开一次数学会议，会邀请一些外国学者前来，又补充说一位名叫约翰·冯·诺伊曼的年轻而才华卓越的数学家会来做讲座。这是我第一次听到这个名字。遗憾的是，此时正值文理学校的大学入学考试期间，我未能去聆听那些讲座。
对科学的爱好并没有占去我的全部时间。我如饥似渴地阅读波兰文学，同时广泛涉猎托尔斯泰、儒勒·凡尔纳、卡尔·梅、H.G.威尔斯和阿纳托尔·法朗士等名家的作品。作为男生，我偏爱人物传记和冒险故事。
除以上这些脑力活动之外，我也积极参加体育活动。大约从十四岁起，我开始和同学一起踢足球，踢过守门员、右前锋等多个位置。我还开始打网球，同时活跃在田径场上。
放学后，我会和同学们一起玩牌。我们打桥牌，也玩一些带小赌注的其他打法。多数时候，获胜的都是年长一些的男生。有一种能力不会随着年龄的增长而衰退，反而会提升，这是一种原生类型的基本的机智。我每周还会下两三次国际象棋。虽然我并不认为自己在这方面有很高的天赋，但在布局方面我是有超出一般水平的直觉的，也许在身边的人中，我算是最好的棋手之一。国际象棋和数学类似，要想达到炉火纯青的境界，就必须不断地思考、训练、想象和学习。
1927年，我通过了为期三天的大学入学考试，继而开始了一段犹豫不决的时光。选择将来的专业并不是件容易事。父亲曾经想让我成为律师，从而继承他的事业，但如今他意识到我的兴趣在其他方向。此外，利沃夫似乎也不缺少律师。虽然大学生涯看上去有吸引力，但将来的专业职位很少，尤其像我这样有犹太家庭背景的人就更难获得了。因此，我转而寻找一条既有实用性又与科学相关的专业道路。父母力劝我去当一名工程师，于是我申请到了利沃夫理工学院的入学资格，去做一名机械或电气工程专业的学生。