1.2 皮亚诺自然数公理

古希腊的欧几里得在他的伟大著作《几何原本》中开创了公理化方法。他用五条公理和五条公设作为基石，精心构建一条一条定理的证明。每一个结论都仅仅使用公理和此前已经证明的定理。最终构建出了叹为观止的几何大厦。然而对于自然数，长期以来人们却没有建立起它的公理化形式系统。也许人们一直认为自然数的结论是直观和显而易见的。直到1889年，意大利数学家皮亚诺才为自然数建立起严格的公理化系统。这就是著名的皮亚诺公理。也许是巧合，欧几里得几何公理有五条，皮亚诺公理也有五条。

皮亚诺公理1 0是自然数。即0∈N。

皮亚诺公理2 每个自然数n都有它的下一个自然数n′，称为它的后继。记为n′=succ(n)。

似乎仅仅有这两条公理，我们已经能够定义出无穷无尽的自然数了，从0开始，下一个是1，再下一个是2,……接下来是某个n，下一个是n+1,……以至无穷。但是好挑刺的数学家给出了一个反例：考虑只有两个元素{0,1}组成的数字系统，定义1的后继为0,0的后继为1。这样也满足上面的两条公理，却不是我们想象中的自然数。为此我们还需要第三条皮亚诺公理来排除这种情况。

皮亚诺公理3 0不是任何自然数的后继。即∀n∈N：n′≠0。

仅仅有这三条公理就够了吗？我们还可以给出一个反例：考虑有限元素集{0,1,2}组成的数字系统，定义0的后继是1,1的后继是2,2的后继还是2。这样也能满足上述三条公理。为此我们还需要第四条皮亚诺公理。

皮亚诺公理4 不同的自然数有不同的后继。或者说，如果两个自然数的后继相同，那么它们相等。即任意n,m∈N若n′=m′则n=m。

但是，仅仅用这四条公理仍然不够，因为可以存在这样的反例：考虑集合{0,0.5,1,1.5,2,2.5,…}，定义0的后继是1、1的后继是2……0.5的后继是1.5、1.5的后继是2.5……但0.5不是任何元素的后继。为了排除这种“不可达”元素，还需要最后一条皮亚诺公理。

皮亚诺公理5 如果自然数的某个子集包含0，并且其中每个元素都有后继元素。那么这个子集就是全体自然数。符号表示为：若S⊆N，0∈S且∀n∈S有n′∈S则S=N。

为什么皮亚诺公理5可以排除掉上述反例呢？考虑{0,0.5,1,1.5,2,2.5,…}的一个子集{0,1,2,…}。它包含0，并且每个元素都有后继元素，但是它不等于原集合。因为1.5、2.5……都不在这个子集中。所以它不满足第五条公理。皮亚诺公理5还有另外一个响亮的名字——归纳公理，它可以这样等价地描述：“任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n′也真，那么命题对所有自然数都真（这条公理保证了数学归纳法的正确性）。”

以上就是完整的五条皮亚诺公理，用它们可以构建出一阶算术系统，也称为皮亚诺算术系统[2]。

朱塞佩·皮亚诺（见图1.3）1858年8月27日生于意大利库内奥（Cuneo）附近的斯宾尼塔（Spinetta）村。这是位于意大利北部都灵附近的农村。他出生的时候，正值意大利统一。1876年皮亚诺考入都灵大学学习，1880年毕业后就留校任教。皮亚诺最开始讲授微积分课程，1887年他和克罗西奥（Carola Crosio）结婚。1886年起，皮亚诺还同时担任都灵军事学院的教授。从19世纪80年代起，皮亚诺开始研究数理逻辑，并致力于数学基础的构建工作。他撰写了《数学公式汇编》这本巨著，力图把所有的数学成果都用形式化的方法汇集起来。这本书可以说为数学的严密化奠定了基础。1900年在第二届国际数学家大会上，罗素遇到了皮亚诺，他在自传（1951）中说[4]：

图1.3 朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）

“这次大会是我精神生活的一个转折点，因为在那里我遇到了皮亚诺。在此之前，我已经听说过他的名字，也知道他的一些工作。我突然明白了，他的符号提供了我多年来一直试图寻找的分析工具，而且从他那里我获得了一直以来想要从事的工作的一种新的有效的技术。”

罗素和怀特海合著的《数学原理》一书，对早期的计算理论起了重要的作用。皮亚诺最初用法语发表研究著作，但他对自然语言固有的歧义感到不满。为了解决这个问题，他于1900年左右发明了一套没有歧义的统一语言，称为“无屈折拉丁语”。这门语言后来被称为“国际语”[3]。皮亚诺努力推广他的新语言，但是事实并不如他所愿，几乎没有人愿意读他用国际语重写的《数学公式汇编》。相反倒是他早期的法语著作使数学家的观点发生了深刻的变化，尤其对法国的布尔巴基学派的纲领，产生了很大影响。后者包含了一大批20世纪世界顶级的数学家，如安德烈·韦伊、亨利·嘉当等。1932年4月20日，皮亚诺因心脏病逝世于都灵。