1.1 数的诞生

自从人类进化开始，数的概念就伴随着我们。有人认为，数直接催生了人类的语言和文字。我们的祖先在长期的狩猎、采集活动中，逐渐掌握了数的概念。最早可能是简单的数数，如数清果实的数量。随着文明的发展，人们逐渐开始进行物品交易。交易的数量逐渐增长，这就需要采用助记工具来处理更大的数。考古发现在今天的伊朗一带，人们在公元前4000年左右开始使用陶制的小球来辅助计数。比如用两个刻有十字的小球代表两只羊，同时还有代表十只羊、二十只羊的不同小球。为了防止忘记或者篡改数过的数目，人们还把这些小球放在陶罐中用泥土封存起来。图1.1是乌鲁克时期的陶制计数罐和小球[1]。交易过程中，人们可以通过这些工具掌握货物的数量[2]。

然而随着交易次数的增加和数目的增大，这样的陶罐和小球就不够方便了。大约公元前3500年，美索不达米亚的苏美尔人开始在泥板上刻画符号来记录交易。将泥板烤硬后就可以方便保存。人们在这一时期用坚硬的笔在泥板上刻出不同的符号，同时表示交易的物品和数量。比如用一个象形符号表示五头牛，而用另一个象形符号表示十只羊。

数的更大进步发生在公元前3100年左右，从出土的泥板中，我们发现苏美尔人开始将数字从它所代表的物品中抽象出来，如图1.2所示。人们不再使用一个符号同时表示物品和数量，而是用一个符号表示数量，接下来用另一个符号表示物品。例如先用一个符号表示五，然后跟上一个牛的象形符号表示五头牛；而表示五只羊的时候，人们用同样的符号表示五，然后再跟上一个羊的符号。这些泥板上的符号逐渐演变成了古巴比伦的楔形文字。

图1.1 卢浮宫陈列的乌鲁克时期的计数陶罐和一组计数陶球

图1.2 古文字中的数字

产生抽象的数是智慧生命思维的结果。人们发现三个鸡蛋、三棵树、三个陶罐都可以用数字三来表示。这是一种强大的工具。从此，我们可以对抽象的数字进行操作，然后再把结果应用到各种具体事物上。例如我们可以把抽象的数字三加上一得到四，从而知道捡拾三个鸡蛋后再捡拾到一个鸡蛋会得到四个鸡蛋。同时我们也知道烧制三个陶罐后再烧制一个陶罐会得到四个陶罐。人们逐渐从解决单一问题发展到解决一类问题。

生产劳动中从数数开始，我们的老祖先逐渐发展出了操作抽象数字的方法，包括数字的加法、减法，更为强大的乘法，以及用于分配事物的除法。在丈量分割土地、计算谷物容量时，又逐渐将抽象的数和几何量联系起来。各个文明几乎分别独立地发现了数与形的内在规律。我们发现古埃及、古希腊、古中国都各自发现了毕达哥拉斯定理（勾股定理），古埃及人把它应用于建造金字塔这样的伟大工程。从现代文明追根溯源，我们可以说自然数是数学和自然科学这条长河的源头。德国数学家克罗内克说：“上帝创造了自然数，其余都是人的工作。”[1]