皮亚诺公理和科学真实的结构

虽然从逻辑推出自然数以失败告终，但自然数确实可以定义为具有某种特定结构的符号系统，它和来源于客观事物及其性质的经验无关。我在《消失的真实》第二、第三编指出，意大利数学家皮亚诺第一次给出自然数（非经验）的严格定义。[23]自然数是这样的集合：其中任何一个元素都可规定一个后继元素，它和已经给出的元素不同；而且数学归纳法有效，即如果一命题对其中某一元素成立可以推至对其后继元素亦成立，那么该命题对所有元素成立。下面用严格的论述来表达皮亚诺公理，[24]集合N只要满足如下5个条件，其元素就是自然数（我们用a*表示a的后继元素）。

1．1属于N。

2．当a属于N时，有唯一的a*属于N。

3．当a*属于N时，a*不是1。

4．对任何a、b属于N，若a*和b*相同，a和b相同。

5．若M属于N，且1属于M，对于任意a属于M，有a*属于M，则M等于N。[25]

皮亚诺公理是什么意思？我们可以把该结构投射到经验对象，看看它代表着什么。当这组公理不是描述符号系统，而是人做受控实验（受控观察）时，我们会发现皮亚诺公理的背后正是受控实验（受控观察）的普遍可重复性。当一个元素代表某一次受控实验（受控观察）时，所谓后继关系，是做一次受控实验（受控观察）后，还可以做下一次同样的受控实验（受控观察），或某人做某一受控实验（受控观察）后，另一个人可以做同样的受控实验（受控观察）。

此外，皮亚诺第五公理保证了数学归纳法的成立，因此又被称作归纳公理。[26]这一公理对应着如下原则：某人做某一次（个）受控实验（受控观察），能得到某个结果。只要下一次控制同样条件，下一次（或另一个人做同样的）受控实验（受控观察）亦能得到同一结果。这样一来，只要控制某一组条件，在任何情况下（或任何人）必定能得到同一结果。我在《消失的真实》中将其称为受控实验（受控观察）的普遍可重复，它是科学经验真实性的最终标准。

我在导论中指出，量子力学在今天已经证明“客观实在为真”并非永远正确的。因为当对象依赖主体时，和主体可重复控制无关的客观对象有时并不存在。[27]这时，只能用受控实验（受控观察）能不能普遍可重复来判别实验对象和相应的性质是否为真。换言之，“普遍可重复的受控实验（受控观察）为真”，已经成为科学界判定科学真实的金科玉律。它是比“客观实在为真”更为基本的真实性基础，而表达自然数的符号结构居然和判定科学真实的受控实验结构相同。这表明自然数的定义虽不能用逻辑推出，但正好描述了科学真实的结构。

我认为，自然数的皮亚诺公理具有重要的认识论意义，因为它第一次用符号表达了科学真实的结构。换言之，真实性本质上是一种结构，它可以是经验的，亦可以是符号的。它在代表符号时，可以和经验没有关系。表面上看，皮亚诺公理5个条件中条件1有“1”，“1”是来自经验的，是数“数”时定义的单位。其实这里“1”只是一个起始符号，可以和测量单位无关。我们亦可以用“0”作为起始符号，这时得到了包含“0”的自然数集，这是自然数的另一种等价的定义。[28]读者或许会感到奇怪：如果没有测量单位“1”，仅仅从符号的后继关系以及它们互不等同，就能定义自然数吗？当然不能！如我们给出序列a_a、a_a、a_a、a_a、a_a、a₆ ……，它们也满足“对该集合任何一个元素都可规定一个后继元素，使它和已经给出的元素不同”，这一序列和自然数也一一对应，但它并不是自然数集。为什么？因为皮亚诺第五公理不成立，故上述序列不是自然数，而只能是自然数的子集合，或和自然数集合一一对应的另一个集合。

这里至关重要的是，定义自然数需要数学归纳法即皮亚诺第五公理成立。条件5的妙处在于：它不仅用数学归纳法成立来代替数“数”单位，还指出所谓满足一个命题P的所有集合只能由数学归纳法有效地给出。也就是说，数学归纳法成立可以转化为两个等价的法则。第一，如果一个命题P对其中某一元素成立，可以推至对其后继元素亦成立，那么该命题对该集合所有元素成立。第二，只有数学归纳法才能有效地给出具有P的所有对象（元素），形成一个有关对象（元素）的全称命题。

早在18世纪，休谟就感到数学归纳法与经验世界似乎没有必然的联系。[29]事实上，皮亚诺公理及其包含的数学归纳法，讨论的不是客观存在的经验世界，而是具备自由意志的主体如何给出符号系统，以及如何从控制（或相应的符号）来定义具有某种规定性的“所有”对象。让我们分析皮亚诺前4条公理，在客观世界，经验上给出有限个不同对象（包括主体）后，并不一定存在和已知对象不同的下一个对象。然而，对主体实行控制而言，主体做过有限次的控制后，一定还可以做另一次控制。也就是说，皮亚诺前4条公理是在描述主体的自由，而第五公理归纳公理则给出了“所有”具有某种规定性的对象。什么是“所有”？具有某种规定性（性质）的所有对象涉及对象的全称，其可能有无穷个。这是一个以前无法讲清楚的概念，只有数学归纳法提供了给出无穷个对象的有效方法，它可以证明有关对象的全称陈述为真，这一点对真实性哲学特别是定义科学真实至关重要。

如果把皮亚诺公理中的元素视为主体，某一元素的后继元素为不同于某一主体的另一个主体，归纳公理正对应着如下原则：如果某一对象对某一主体成立，能得到对另一个主体也成立，则该对象对所有主体成立。如果皮亚诺公理中的元素是用某一种方法定义的一个对象，某一元素的后继元素为不同于某一对象的另一个对象，归纳公理则指出：如果某一对象是真的，能得到对下一个对象也是真的，则用某种方法规定的所有对象都是真的，“有关对象为真”的全称陈述成立。

这一切又有什么意义呢？我在《消失的真实》导论中指出，所谓真实性是对象和主体的一种关系，这种关系构成主体对对象之评价，以及其与评价对象互动的前提。[30]但我在《消失的真实》中并没有论述这种关系是什么。在本书导论中我指出，真实性作为主体X和对象Y的关系，必须通过控制手段M来界定。也就是说，真实性是主体X、对象Y及M三者之间的关系，并指出X和Y的真实性取决于M的可重复性。而M的可重复性是指做过一次后还能再做一次，当可重复性满足数学归纳法时，则得到真实性作为一种关系的普遍成立。由此可见，数学归纳法对判别真实性是否普遍成立具有关键性意义。

现在，我们得出一个令人吃惊的结论：自然数作为某种特定结构的符号系统，居然代表了所有悬置在对象之外的主体和对象的关系，定义了科学真实必须满足的前提。当这种符号系统不存在时，上述关系就不存在，这时说“某一对象为真”将不再有意义。