1.1.3 系统状态描述的基本概念

状态变量：能够完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量，一般用x1（t），x2（t），…，xn（t）表示，且它们之间相互独立（即变量的数目最小）。

所谓完全描述，是指如果给定这个最小变量组在初始时刻t0的值和在t≥t0时刻系统的输入函数，那么系统在t≥t0任何时刻的运行状态都可以完全确定。

所谓变量数目最小，从数学角度看，是指这组状态变量是系统所有内部变量中线性无关的一个极大变量组，即x1（t），x2（t），…，xn（t）以外的系统内部变量均与其线性相关；从物理角度看，是指减少其中任意一个变量都会减少确定系统运动行为的信息量从而不能完全表征系统的运动状态，而增加一个变量对完全表征系统的运动状态又是多余的。

状态向量：设系统的状态变量为x1（t），x2（t），…，xn（t），那么把它们作为分量所构成的向量x（t），就称为状态向量，有时也称为状态矢量，记作

状态空间：以状态变量x1（t），x2（t），…，xn（t）为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。状态空间的概念由向量空间引出。在向量空间中，维数就是构成向量空间基的变量个数。相似地，在状态空间中，维数也就是系统状态变量的个数。

状态轨迹：状态空间中的每一个点，对应于系统的某一种特定状态。反过来，系统在任何时刻的状态，都可以用状态空间的一个点来表示。如果给定了初始时刻t0的状态x（t0）和t≥t0时刻的输入函数，随着时间的推移，x（t）将在空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。

【例1.1】RLC电路网络如图1.2所示，试确定系统的状态变量。

图1.2 RLC电路

解：图1.2所示电路中，电源电压u（t）为输入，电容两端电压uC（t）为输出，根据基尔霍夫电路定律可建立如下的微分方程

根据状态变量的定义，要唯一地确定t时刻电路的运动状态，除了输入电压u（t）之外，还需知道电流i（t）和电容两端的电压uC（t），则电流i（t）和电压uC（t）是系统的一个完全描述。

下面讨论电流i（t）和电压uC（t）是否是描述系统运动状态的最小变量组：若仅选择电流i（t）描述系统，则不能得知uC（t）的运动状态；反之仅选择uC（t），则不能得知i（t）的运动状态。故二者缺一不可。若选择电流i（t）、电容两端的电压uC（t）及电容两端的电荷量qC（t）作为系统的状态变量，由于qC（t）=CuC（t），qC（t）和uC（t）线性相关，则增加的变量qC（t）是多余的。

故可选择i（t）、uC（t）为状态变量，系统的状态空间是二维的。

分析可知，也可选择i（t）、qC（t）作为状态变量，系统的状态空间是二维的。

可见，系统状态变量的选取是不唯一的，对同一个系统可选取不同的状态变量。但无论状态变量如何选取，系统状态变量的个数是唯一的，即系统状态空间的维数是唯一的。对于上述例题所示的电路系统来说，状态空间的维数就是系统中独立储能元件的个数。