1.1.2　贝叶斯理论应用阶段

图像重构模型的第二个发展阶段是贝叶斯理论应用阶段。该阶段主要借助贝叶斯理论，将先验概率分布、条件概率分布和后验概率分布三者形成统一体，建立图像重构模型。基于贝叶斯理论建立的图像重构模型，从统计分布的角度实现对图像数据进行拟合，利用优化理论设计迭代算法，获得重构图像的最大后验估计。贝叶斯理论认为，图像由许多不同的结构组成，不同的结构服从不同的统计分布，可以用条件概率来描述，通过加权组合形成混合概率分布模型，来　拟合图像的统计分布，如有限高斯混合模型、有限t分布混合模型和有限瑞利分布混合模型等。具体地讲，有限混合模型中的先验概率，可以对图像的结构施加先验限制，有利于表征图像的结构特征。从能量泛函正则化模型的角度来讲，先验概率相当于正则项，条件概率相当于拟合项，而后验概率就是获得的重构图像。贝叶斯理论是建立在数理统计基础上的，因此，先验概率和条件概率可以利用高等概率统计中的统计分布来描述。随着对图像统计分布研究的深入，为了更准确地描述图像的统计分布，对图像施加变换，如空域层次金字塔模型、小波域和紧框架域有限高斯隐马尔可夫模型等。在变换域，有限隐马尔可夫模型对每一像素都用两个正态分布来拟合，不同分辨率之间的像素用条件概率来描述，提高了数据拟合的准确性，但代价是大大增加了模型计算的复杂度。在有限高斯混合模型、有限瑞利分布混合模型、有限高斯隐马尔可夫模型的算法设计上，最有效的优化算法是期望最大值（Expectation Maximization，EM）算法。该算法由美国数学家Dempster A.P、Laird N.M和 Rubin D.B于1977年提出，主要由期望步（E-步）和最大似然步（M-步）两步迭代组成，利用交替迭代的思想，对具有“隐含变量”或“丢失数据”的概率模型进行估计，以计算统计模型最大后验概率分布。该算法是当代优化理论交替迭代算法的雏形，其思想对交替迭代算法发展起到了巨大的推动作用。由于有限高斯混合模型、有限高斯隐马尔可夫模型需要对模型进行训练，优化的参数较多，EM算法计算比较耗时，且最优解依赖初始值，容易陷入局部极值，获得的往往是局部最优解，在某种程度上，对图像重构的视觉效果造成一定的影响。

下面以小波域有限高斯隐马尔可夫模型为例重构lena图像。在小波域，选用不同支撑长度的Daubechies系列小波作为滤波器，如图1-2（a）、（b）所示。图1-2（d）、（f）、（h）为原始图像三维表面、采集图像三维表面和重构图像三维表面。从图1-2（e）、（f）可知，采集图像三维表面与原始图像、原始图像三维表面差异较大，图1-2（h）为用有限高斯隐马尔可夫模型重构的图像，从视觉效果上看，重构图像三维表面与原始图像三维表面相似，由图1-2（g）与图1-2（c）对比可知，重构图像比原始图像光滑，表明重构图像有细节信息丢失。

图1-2　小波域有限高斯隐马尔可夫模型重构图像

图1-2　小波域有限高斯隐马尔可夫模型重构图像（续）

对于采集图像，不同的拟合模型和不同的迭代算法会得到不同的重构结果。为了说明问题，下面用不同的统计模型和迭代算法重构“星型”图像。采用最小二乘拟合图像的统计分布，用MRNSD算法重构图像；采用泊松分布拟合图像，用EM算法重构图像。

图1-3（a）、（b）为原始图像及其三维表面，图1-3（c）、（d）为采集图像及其三维表面，图1-3（e）、（f）为MRNSD算法重构图像及其三维表面，图1-3（g）、（h）为EM算法重构图像及其三维表面。由图1-3（e）、（g）可知，MRNSD算法和EM算法能重构图像的基本轮廓，由图1-3（f）、（h）与图1-3（b）对比可知，重构图像三维表面与原始图像三维表面差异较大。由原始图像三维表面可知，三维表面阶梯层次明显，且形状规则；重构图像三维表面阶梯层次不明显，表明在非平稳区域，图像重构模型无法表征图像的边缘，而且重构的三维表面呈现出单点阶跃式分布，表明在平稳区域产生伪边缘。

图1-3　小波域有限隐马尔可夫模型重构图像

图1-3　小波域有限隐马尔可夫模型重构图像（续）

图1-4（a）、（b）为用MRNSD算法和EM算法重构星型图像时，迭代解、真解残差与真解的比值随迭代次数的变化。从图1-4中可以看出，迭代算法具有较快的收敛速度，但是随着迭代次数的增加，相对迭代残差不是一直在减小，而是先减小后增大，说明算法重构效果与迭代次数有关，具有半收敛特性。

图1-4　迭代解、真解残差与真解的比值随迭代次数的变化