1.1　图像重构模型的发展阶段

1.1.1　数据拟合阶段

在图像重构模型研究的早期阶段，主要是建立图像统计分布的数据拟合模型。由标准的能量泛函正则化模型可知，数据拟合模型只有拟合项，没有正则项，最具有代表性的例子是最小二乘拟合。最小二乘具有很好的数学性质，如光滑特性、二阶可导，从而可以利用一阶导数信息设计最速下降迭代算法，利用二阶导数信息设计牛顿迭代算法及改进的牛顿迭代算法。由于迭代算法操作的是向量和矩阵，因此可以利用数值代数对矩阵进行预处理，进而获得有效的迭代算法，如Jacobi迭代算法、Gauss-Seidel迭代算法、逐次超松弛迭代算法、对称松弛迭代算法和反对称松弛迭代算法等。若矩阵是非稀疏矩阵，则规模较大，且不具有特殊结构，会使基于矩阵操作的迭代算法具有较慢的收敛速度。为加快算法的收敛速度，可以利用矩阵的奇异值分解、上下三角分解、对角化及预条件技术改变矩阵的结构，设计迭代算法，如预条件极小残量迭代算法、预条件最速下降迭代算法等。若系统矩阵是对称矩阵，则可以利用标准空间正交基，设计极小残量迭代（MINRES）算法。若系统矩阵是非对称矩阵，则可以设计双共轭梯度迭代（BICG）算法、共轭梯度平方迭代算法、拟极小残量迭代算法和改进的双共轭梯度稳定迭代（BICG-Stability）算法等。若系统方程的系数矩阵是正定对称矩阵，则可以设计共轭梯度迭代（CG）算法、预条件共轭梯度迭代（PCG）算法；若系数矩阵是非对称、非正定矩阵，则可以设计预条件最小残量迭代（PMR）算法、最小残差法方程最速下降迭代（MRNSD）算法、预条件最小残差法方程最速下降迭代（PMRNSD）算法、广义共轭残量迭代（GCR）算法、广义极小残量迭代（GMRES）算法。

下面以卫星图像重构为例，给出CG算法、PCG算法、PMR算法、MRNSD算法、PMRNSD算法的重构结果，如图1-1所示。

图1-1　不同迭代算法重构的卫星图像

图1-1　不同迭代算法重构的卫星图像（续）

从图1-1所示重构结果来看，利用最小二乘拟合图像的统计分布，CG算法、PCG算法、PMR算法、MRNSD算法和PMRNSD算法获得的图像细节信息丢失比较严重，与原始图像对比可知，重构图像与原始图像具有较大的差异，这是由于利用最小二乘拟合图像的统计分布，不考虑图像本身的结构信息，因此建立的统计模型具有天然的不足，即统计模型无法准确体现图像的结构特征，而图像的结构，如图像的边缘、纹理和跳跃间断点等，是图像的内在属性，对图像重构的视觉效果会产生十分重要的影响。但是，从算法设计的角度来讲，利用最小二乘拟合图像的统计分布，借助数值代数和矩阵论，通过对矩阵进行操作，可以获得许多高效迭代算法，优化算法设计比较容易。