古算趣味(少年读经典·第二辑)
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从旧的算术书里,我们知道上述的混合问题又叫“鸡兔类问题”,它的起源是很早的。中国有一本古算书,名叫《孙子算经》,这本书的作者孙子的名字和著作年代都已无处查考,大约是二千年前的作品。在《孙子算经》里载着一个问题,大意是:鸡兔同笼,共有35个头,94只脚。问鸡和兔各几只?这就是现今算术书里的混合问题的始祖。

用上节所讲的方法来解这一个鸡兔问题,虽然很容易,但是《孙子算经》里却载着一个更简单的解法,把这本书里所举的解法译得通俗一些,就是说:“脚数折半,减去头数,就得兔数;从头数减去兔数,就得鸡数。”列成算式,得

94÷2-35=12 …… 兔数

35-12=23……… 鸡数

这解法是多么简便呀!

我们研究到这一个解法的原理,原来是很有趣的。因每只鸡有2脚,每只兔有4脚,如果每只鸡和每只兔都砍去半数的脚,成为“独脚鸡”和“两脚兔”,这时脚的总数一定是原有的一半,成为47(即94÷2)。每只“独脚鸡”的脚数是1(即2÷2),每只“两脚兔”的脚数是2(即4÷2),每只鸡的脚数等于头数,每只兔的脚数比头数多1(即4÷2-2÷2)。于是看总脚数47比总头数35多几,就知道兔的只数有几。

就上述的理由看来,知道《孙子算经》的解法所以会这样简单,是为了在每只鸡的脚数等于头数时,每只兔的脚数比头数恰巧多1;如果所多的不是1,那就没有这样简单了。可见《孙子算经》求兔数的算法,应改为:

(94÷2-35)÷(4÷2-2÷2)=12

这才是鸡兔类问题的普通解法。

我们明白了上述解法的原理,不妨模仿着它来创造另一个新解法。方法是这样:每只鸡给它装上一个假头,变成“两头鸡”;每只兔也是这样,变成“两头兔”,这时头的总数一定是原有的2倍,成为70(即35×2)。每只“两头鸡”有2头2脚,每只“两头兔”有2头4脚,每只鸡的脚数等于头数,每只兔的脚数比头数多2(即4-2)。于是因总脚数94比总头数70多24,知道兔的头数是12(即24÷2)。列为算式,得

(94-35×2)÷(4-2)=12 ……兔数

民间流传的和尚吃馒头问题,是从《孙子算经》的鸡兔问题演变而来,这是毫无疑义的。我们仿《孙子算经》,来写出和尚吃馒头问题的两种解法。

假定大小和尚每人所吃的馒头数都照题目扩大3倍,那末大和尚1人吃9个,小和尚3人吃3个,100人共吃馒头300个。小和尚每人所吃的馒头数等于人数,大和尚每人所吃的馒头数比人数多8。现在共吃的馒头数比人数多200,而200是8的25倍,所以大和尚是25人,小和尚是75人,列式如下:

(100×3-100)÷(3×3-⅓×3)=25 大和尚数

100-25=75         小和尚数

这是第一种解法。

假定大小和尚的人数都扩大3倍,那末大和尚3人吃馒头3个,小和尚9人吃馒头1个,300人共吃馒头100个,大和尚数等于他们每人所吃的馒头数,小和尚数比他们每人所吃的馒头数多8。现在人数比共吃的馒头数多200,而200是8的25倍,所以小和尚共吃馒头25个,小和尚计有75人。列式如下:

(100×3-100)÷(3×3-⅓×3)×3=75  ………小和尚数

100-75=25………大和尚数

这是第二种解法。