32．qr函数

矩阵的正交分解又称QR分解。QR分解把一个m×n的矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A＝Q·R。在MATLAB中用qr函数实现矩阵的QR分解。函数的语法格式为：

X＝qr（A）：返回QR分解A＝Q∗R的上三角R因子。如果A为满矩阵，则R＝triu（X）。如果A为稀疏矩阵，则R＝X。

[Q，R]＝qr（A）：对m×n矩阵A执行QR分解，满足A＝Q∗R。因子R是m×n上三角矩阵，因子Q是m×m正交矩阵。

[Q，R，P]＝qr（A）：还返回一个置换矩阵P，满足A∗P＝Q∗R。

[___]＝qr（A，0）：使用上述任意输出参数组合进行精简分解。输出的大小取决于m×n矩阵A的大小：

·　如果m＞n，则qr仅计算Q的前n列和R的前n行。

·　如果m≤n，则精简分解与常规分解相同。

[Q，R，P]＝qr（A，outputForm）：outputForm指定为'matrix'或'vector'。此标志控制置换输出P是以置换矩阵还是置换向量形式返回。要使用此选项，必须指定qr的三个输出参数。

·　如果outputForm是'vector'，则P是满足A（：，P）＝Q∗R的置换向量。

·　outputForm的默认值为'matrix'，满足A∗P＝Q∗R。

[C，R]＝qr（S，B）：计算C＝Q'∗B和上三角因子R。可以使用C和R计算稀疏线性方程组S∗X＝B和X＝R\C的最小二乘解。

[C，R，P]＝qr（S，B）：还返回置换矩阵P。可以使用C、R和P计算稀疏线性方程组S∗X＝B和X＝P∗（R\C）的最小二乘解。

[___]＝qr（S，B，0）：使用上述任意输出参数组合进行精简分解。输出的大小取决于m×n稀疏矩阵S的大小：

·　如果m＞n，则qr仅计算C和R的前n行。

·　如果m≤n，则精简分解与常规分解相同。

[C，R，P]＝qr（S，B，outputForm）：指定置换信息P是以矩阵还是向量形式返回。例如，如果outputForm是'vector'，则S∗X＝B的最小二乘解是X（P，：）＝R\C。outputForm的默认值为'matrix'，此时S∗X＝B的最小二乘解是X＝P∗（R\C）。

【例1-34】使用系数矩阵的精简QR分解来求解线性方程组Ax＝b。

运行程序，效果如图1-15所示。

与chol、lu函数一样，qr函数同样可对稀疏矩阵进行分解。

【例1-35】计算west0479稀疏矩阵的QR分解。

结果表明置换分解产生的R因子的非零值明显减少。