31．lu函数

使用高斯消去法的变体计算LU分解。计算精确解取决于原始矩阵cond（A）的条件数的值。如果矩阵具有较大的条件数（接近奇异矩阵），则计算的分解可能不准确。

LU分解是使用inv得到逆矩阵和使用det得到行列式的关键步骤。同时，它还是使用运算符“\”和“/”求线性方程解或矩阵除法的基础。这意味着lu的这些数值限制也会存在于依赖它的这些函数中。在MATLAB中，利用lu函数实现LU分解。函数的语法格式为：

[L，U]＝lu（A）：将满矩阵或稀疏矩阵A分解为一个上三角矩阵U和一个经过置换的下三角矩阵L，使得A＝L∗U。

[L，U，P]＝lu（A）：还返回一个置换矩阵P，并满足A＝P'∗L∗U。在此语法中，L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。

[L，U，P]＝lu（A，outputForm）：以outputForm指定的格式返回P。将outputForm指定为'vector'会将P返回为一个置换向量，并满足A（P，：）＝L∗U。

[L，U，P，Q]＝lu（S）：将稀疏矩阵S分解为一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U、一个行置换矩阵P以及一个列置换矩阵Q，并满足P∗S∗Q＝L∗U。

[L，U，P，Q，D]＝lu（S）：还返回一个对角缩放矩阵D，并满足P∗（D\S）∗Q＝L∗U。行缩放通常会使分解更为稀疏和稳定。

[____]＝lu（S，thresh）：可结合上述任意输出参数组合指定lu使用的主元消去策略的阈值。根据指定的输出参数的数量，对thresh输入的要求及其默认值会有所不同：

·　当输出为3个或少于3个时，thresh必须是标量，默认值为1.0。

·　当输出为4个或多于4个时，thresh可以是标量或二元素向量。默认值为[0.1 0.001]。如果将thresh指定为标量，则仅替换向量中的第一个值。

[____]＝lu（____，outputForm）：以outputForm指定的格式返回P和Q。将outputForm指定为'vector'以将P和Q返回为置换向量。

【例1-32】用LU分解对线性方程组求解。

此外，也可以用lu函数对稀疏矩阵进行LU分解。

【例1-33】将在使用和不使用列置换的情况下计算稀疏矩阵的LU分解的结果进行比较。

运行程序，效果如图1-13及图1-14所示。