0　概述

数学的实用目的便是测量。最古老的例证之一是三角测量，还有一个便是微分方程。后者是干什么的？其实它所做的不过是一系列三角测量的总和。因此，认识三角测量，便能认识微分方程，即所谓温故知新。不过，两者的复杂性稍有区别：前者只做一次测量，后者要做一系列测量。

微分方程被牛顿、莱布尼茨两人（图0.1）创造以来，就被许多科学家所继承使用，甚至每一门学科都对应着一个微分方程。

图0.1

例如，电磁学对应麦克斯韦方程，量子力学对应薛定谔方程，即使人口理论也对应马尔萨斯方程。

2002 年暑期，西方几位专家来华访问和演讲，不约而同的是，他们的讲题要么是电磁波中的微分方程，要么是量子力学中的微分方程。这是为什么？他们回答：无论是手机制造公司，还是纳米研究公司，都要他们解出这些微分方程。

微分方程对大众的生活也有切身的影响，比如手机或纳米，相关研究中都有微分方程的身影。

一些关系国计民生的大事，例如人口的预测，可以由微分方程在几分钟内解决。即使人文科学，例如托尔斯泰的小说《战争与和平》中，对历史观的阐释也体现了微积的思想 1。可以说，自然科学、工程技术、社会科学、人文科学，都用得上微积分或微分方程。

1只有采取无限小的观察单位——历史的微分，并且运用积分的方法（得到这些无限小的总和，或微分的积分），我们才有希望了解历史的规律。

中学只讲代数方程和三角函数，那么什么是微分方程呢？虽然大学都讲了，但一般公众对微分方程多是一知半解，觉得它“深不见底”。直到有一天，当我听到关于“如何测量树高”的议论时，才恍然大悟，对微分方程的一种新理解也随之浮出水面。下面就请读者和我共同体验这个领悟的过程（图0.2）。

图0.2

牛顿、莱布尼茨或巴罗的微积分早已写在了教科书中，但写的不等于想的，他们怎么想只有他们自己知道，后人只能凭自己的经历谈心得。

—天，我在一棵老树下散步，听到了下面的议论。

导游：这棵老树年年都在长高，每年都有测绘人员来测树高。

游客：一棵树怎么测高呀？要砍倒树或爬上去吗？

我想：中学生都知道，如果有了三角学，便无须砍树或爬树，可只凭一个虚拟斜边的斜率来测量树高呀（图0.3）！

图0.3

但同时我也顿悟：这也是一个微分方程所要做的事情。

事实上，如果我们面临一座山，它也对应一个“直角三角形”，不过它有着弯曲的斜边，或者说是山坡（图0.4）。

图0.4

我们处在山坡上的一点，因为视野受限，看不见远方。

这时，它的斜率不再是固定不变的。如果假设每个点的斜率（这只涉及弯曲山坡在这一点附近的局部性质）都是已知的，那么这里也会出现同样的测量问题：测量山高能不能不必穿山，而只凭这些斜率呢？

这属于曲斜边三角学（因为基于曲斜边三角形），实际上是解一个最简单的微分方程 2：已知山坡上各点的斜率（或斜率曲线），求山高（或高度曲线，图0.5）。

2最简单的最重要，它标志着新数学的诞生。

图0.5

斜率曲线与高度曲线合二图为一图（由于斜率在三角测量中是最重要的量，将它一一记录下来，便成为斜率曲线）。

图0.6

令图0.6 的左图收缩成一段，在一段曲线上，各点的斜率差不多相同。若将起点斜率作为这一段的斜率，然后用它来测量，给出这一段的高度增量 ≈ 起点斜率 × 底长 ≈ 缩短后斜率曲线所围面积。各段测量的总和便是

总山高 = 斜率曲线所围面积。

这就是牛顿 - 莱布尼茨公式。

所以将微分方程比作曲斜边三角测量，其复杂性便可跟初等三角测量相比较：它们都是三角测量，只是测量的次数有所不同。

这个微分方程虽然简单（有时称之为最简单的微分方程），但极其有用。例如，测量一些曲边形的面积，只要解一个微分方程，花几分钟。否则，如果没有微分方程或牛顿 - 莱布尼茨公式，就需要做无数个算术，怎么也算不完，效率有天壤之别。这就是发明微分方程的必要性。

简言之，树高的测量导致三角学的出现，山高的测量导致一个微分方程的出现。可见，现实（测量）会推动数学由初等进化到高等。

现实中类似的例子很多，例如 2000 年我国的人口普查，发动全民挨家挨户地直接数，花了一年多数出 12.66 亿。用微分方程来计算预测值，一个大学生只花几分钟，算出的是 13.45 亿，相差不多。这就是证明发明微分方程的必要性的实际例子（图0.7）。

图0.7

数学就是这样，另辟途径，（例如利用斜率或增长率）获取效率。

大学生解微分方程（）计算人口普查的预测值。

现在，我们可以向公众解答微分方程的所作所为，它本由中学三角测量开发出来，但已不限于测量树高，且能测量许多曲边形的面积、算出人口预测值，等等。处理这些问题均无须直接做无数个算术，用微分方程花几分钟就可以算出。所以要想有效率，就要学微积分或微分方程。

本书分为两部分，第一部分为看图识字，第二部分为看图求证。

本书的素材取自参考文献[9] 和参考文献[10]。