2.2.3　二进制整数的加法运算规则

二进制整数的加法，满足“逢二进一”的规则。首先，考虑一位二进制数相加的情况，即0+0=0、1+0=1、0+1=1、1+1=10。很明显，由于1+1=2，按照二进制加法运算规则需要逢二进一，因此就变成10。

【例2-1】两个无符号整数98和109相加，假设8位字长。

（1）得到无符号整数98所对应的二进制数序列为“01100010”。

（2）得到无符号整数109所对应的二进制数序列为“01101101”。

（3）使用二进制数加法规则，执行两个二进制数序列的相加操作：

（4）相加的结果为二进制数序列“11001111”，其对应的无符号整数为207，与两个无符号整数98和109的十进制数加法得到的结果一致。

【例2-2】两个无符号整数123和140相加，假设8位字长。

（1）得到无符号整数123所对应的二进制数序列为“01111011”。

（2）得到无符号整数140所对应的二进制数序列为“10001100”。

（3）使用二进制数加法规则，执行两个二进制数序列的相加操作：

（4）相加的结果为二进制数序列“100000111”，其对应的无符号整数为263，与两个无符号整数123和140的十进制数加法得到的结果一致。

注：当计算机的字长为8位时，将第9位称为进位标志。通常，将进位标志保存在一个特殊的寄存器中，用于指示在相加的过程中向最高位产生了进位。

【例2-3】两个有符号数+98和+109相加，假设8位字长。

该例子前三步和【例2-1】完全相同，得到相加后的二进制序列为“11001111”，由于是有符号数相加，因此将该序列理解为二进制补码，其对应的整数为-49。很明显，相加的两个数为正整数，而相加的结果却成为负整数。这在计算机中称为溢出，这是由于数的表示范围的限制所导致的。在计算机中，通常也将该标志保存到一个特殊的寄存器中。在计算机中，溢出是一个比较严重的错误，需要进行相应的处理。

注：两个正整数相加，或者两个负整数相加，都可能产生“溢出”。当产生溢出时，两个正整数相加的结果为负整数，两个负整数相加的结果为正整数。

【例2-4】两个有符号数-35和-87相加，假设8位字长。

（1）得到有符号整数-35所对应的二进制补码形式的序列为“11011101”。

（2）得到有符号整数-87所对应的二进制补码形式的序列为“10101001”。

（3）使用二进制数加法规则，执行两个二进制数序列的相加操作：

（4）相加结果的二进制数序列为“110000110”，第9位为进位标志（值为1），由于字长为8位，因此只考虑8位二进制序列“10000110”，该二进制序列理解为有符号数的补码形式，其对应的整数为-122，与两个负整数的十进制加法的结果完全相同。

这里需要强调，无符号整数实际上对应于整数中的正整数，也就是不考虑符号位；有符号数对应于整数（包括负整数，零和正整数），需要考虑符号位。

思考与练习2-9：对于两个8位二进制数序列“10000001”和“00101111”来说：

（1）当计算机将这两个二进制序列理解为无符号数时，等效的十进制正整数分别表示为______和________；将这两个二进制数相加时，得到的运算结果使用二进制数表示为________，等效的十进制正整数表示为________（给出具体的相加过程，以验证加法过程的正确性）。

（2）当计算机将这两个二进制数序列理解为有符号数时，等效的十进制整数分别表示为________和__________；将这两个二进制数相加时，得到的运算结果使用二进制数表示为________，等效的十进制整数表示为__________（给出具体的相加过程，以验证加法过程的正确性）。

（3）当这两个8位二进制序列作为无符号数扩展为16位等效的二进制序列时，结果分别表示为________和________。当这两个8位二进制序列作为有符号数扩展为16位等效的二进制序列时，结果分别表示为________和________。