2.2.2 使用二进制数表示负整数
一组二进制序列如何能够表示正整数、零和负整数呢？人们想了一个非常聪明的方法来解决它，即将给定二进制序列的最高有效位（Most Significant bit，MSB）作为符号位。例如，对于一个8位字长的二进制序列，第7位为符号位（最低位的索引号为0）；对于一个16位字长的二进制序列，第15位为符号位（最低位的索引号为0）；对于一个32位字长的二进制序列，第31位为符号位（最低位的索引号为0）。
当符号位为0时，规定为正整数；当符号位为1时，规定为负整数。例如：对于正整数35来说，用8位字长二进制序列表示为“00100011”；对于负整数-35来说，用8位字长二进制序列表示为“10100011”，如表2.7所示。
表2.7 有符号数的二进制表示（-35）
从表2.7中可知，这种用来表示有符号整数的方法称为幅度-符号表示法，也就是传统教科书上所介绍的二进制的“原码”。与传统教科书使用“原码”这一术语相比，使用幅度-符号表示法更能说明其真实的物理含义。
幅度-符号法是否能够作为有符号整数的表示方法呢？其实问题没有这么简单。这是因为幅度-符号法在表示有符号数方面有很大的局限性。比如，对于+0和-0这两个整数，虽然它们的值（幅度）都为零，但是使用幅度-符号法表示零的时候却出现完全不同的结果，即+0表示为“00000000”、-0表示为“10000000”。
进一步地，从图2.1（a）可知，将8位字长的二进制数从00000000开始，以顺时针方向递增，并均匀排列在圆上，即得到从“00000000”到“11111111”的排列形式。根据幅度-符号表示法，二进制序列“00000000”表示为+0，二进制序列“10000000”表示为-0，二进制序列“01111111”表示为+127，二进制序列“11111111”表示为-127。
图2.1 有符号整数的不同表示方法
这样，在二进制序列+0的左侧是最小的负整数-127，而在二进制序列+0的右侧是最小的正整数+1。很明显，在正零的两侧出现了不连续区域（突变），即从-127跳变到0，然后再变化到+1。这与在X轴上表示正整数、零和负整数的方法出现了冲突，我们知道在X轴上正常应该是-1、0和+1的变化。
所以，采用幅度-符号或“原码”表示有符号整数是有问题的。那应该如何解决这个问题呢？根据数字逻辑电路上所介绍的使用全加器执行减法运算的规则可知，如果将减数所对应的二进制数先全部按位取反然后再加一，就可以将减法运算转化为加法运算，此时就可以使用加法器实现减法运算。这种变换方法在计算机里称为二进制序列的“补码”运算。那如何使用二进制序列的补码形式来表示有符号数呢？下面通过几个例子来说明得到负整数所对应二进制补码的方法。
注：对于有符号数中的正整数来说，其补码与原码（幅度-符号表示法）完全相同。
1）求取-1的二进制补码形式（8位字长）
首先得到-1所对应的+1的二进制原码（无符号正整数不考虑符号位）表示，即“00000001”；然后将该原码序列全部按位取反，“0”变成“1”，“1”变成“0”，得到所对应的反码为“11111110”；最后将所得到的反码结果加1，即得到“11111111”，因此-1的二进制补码序列为“11111111”。
2）求取-0的二进制补码形式（8位字长）
首先得到-0所对应的+0的二进制原码（无符号正整数不考虑符号位）表示，即“00000000”；然后将该原码序列全部按位取反，“0”变成“1”，“1”变成“0”，得到所对应的反码为“11111111”；最后将所得到的反码结果加1，即得到“100000000”，由于是8位字长，舍弃第9位的“1”，最终得到-0的二进制补码序列为“00000000”。
也就是说，+0的二进制补码序列和-0的二进制补码序列完全相同，这样就解决了在使用幅度-符号表示法时出现对0的二义性的描述问题。
3）求取-128的二进制补码形式（8位字长）
首先得到-128所对应的+128的二进制原码（无符号正整数不考虑符号位）表示，即“1000000”；然后将该原码序列全部按位取反，“0”变成“1”，“1”变成“0”，得到所对应的反码为“01111111”；最后将所得到的反码结果加1，即得到“10000000”，最终得到-128的二进制补码序列为“10000000”。
规则总结：得到负整数所对应正整数原码（不考虑符号位）表示，然后将所得到的原码全部按位取反得到对应的反码，最后在反码上加1，这样就得到了负整数所对应的二进制补码表示形式。
是不是使用二进制补码形式就解决了幅度-符号表示法的缺陷呢？再观察图2.1（b），二进制数的排列规则和图2.1（a）完全相同，只是二进制序列所对应的有符号整数的含义发生了变化。首先，从图中可知，整数中的零只有一个对应的二进制序列“00000000”。其次，在零值左侧，二进制补码序列“11111111”所对应的是-1；在零值右侧，二进制补码序列“00000001”所对应的是+1，因此从-1到0再到1的变化是连续的，而不是突变的。最大正整数+127左侧的二进制补码序列“10000000”，所对应的是-128。这与传统上在X轴上表示从-128到+127是完全相同的。因此，使用二进制补码的形式来表示有符号的整数（包括正整数、零和负整数）。
从图2.1（b）中可知，对于8位字长的二进制序列来说，其可表示的整数范围为-128～+127，用公式表示为-28-1～28-1-1。
推而广之，对于n位字长的二进制序列，其可以表示的整数范围为-2n-1～2n-1-1。比如，对于16位字长的二进制序列，其可以表示的整数范围是-215～215-1，即-32768～+32767；对于32位字长的二进制序列，其可以表示的整数范围是-2147483648～+2147483647。
前面给出的是通过对原码取反加1得到补码的方法，下面介绍通过比较法得到二进制补码的方法。以十进制有符号负整数-97转换为所对应的8位二进制补码序列为例，如表2.8所示。
表2.8 十进制有符号负整数-97的二进制补码比较法实现过程
（1）得到需要转换负数的最小权值，该权值为负数，以-2i表示（i为所对应符号位的位置），使其满足：
-2i≤需要转换的负数
并且，-2i与所要转换的负整数有最小的距离，保证绝对差值最小。
（2）取比该权值绝对值2i小的权值，以从2i-1到20的顺序表示。比较过程描述如下。
① 需要转换的负数加上2i，得到了正整数，该正整数作为下一次比较的基准。
② 后面的比较过程与前面介绍的正整数比较方法一致。
根据表2.8给出的比较过程，得到负整数-97所对应的二进制补码序列为“10011111”。
思考与练习2-7：计算下面负整数所对应的补码，并给出详细的计算过程。
（1）-127的补码是____________________（使用8位二进制数表示）。
（2）-32767的补码是____________________（使用16位二进制数表示）。
（3）-2的补码是________________________（使用16位二进制数表示）。
思考与练习2-8：对于一个8位的二进制序列“10100101”，当该序列表示无符号数时，所对应的十进制正整数为________________；当该序列表示有符号数时，所对应的十进制整数为____________。
这里需要强调，当使用补码表示整数（包括负整数、零和正整数）时，正整数的二进制原码和补码完全相同，只是负整数需要使用二进制补码表示而已。