2.4.4　证明主成分的方差是依次递减的

设相关系数矩阵R的p个特征根为λ₁≥λ₂≥_…≥λ_p，相应的特征向量为a_j。

相对于F₁的方差为：

同样有：Var(F_i)=_i，即主成分的方差依次递减。并且协方差为：

综上所述，根据证明得知，主成分分析中的主成分协方差应该是对角矩阵，其对角线上的元素恰好是原始数据相关矩阵的特征值，而主成分系数矩阵A的元素则是原始数据相关矩阵特征值相应的特征向量。矩阵A是一个正交矩阵。

于是，变量经过变换后得到新的综合变量：

新的随机变量彼此不相关，且方差依次递减。