2.4.3　数据主成分的导出

根据主成分分析的数学模型的定义，要进行主成分分析，就需要根据原始数据以及模型的3个条件的要求，求出主成分系数，以便得到主成分模型。这就是导出主成分所要解决的问题。

（1）根据2.4.1节中主成分数学模型的条件①要求主成分之间互不相关，主成分之间的协差阵应该是一个对角阵。即，对于主成分：

其协差阵应为：

Var(F)=Var(AX)=(AX)·(AX)＇=AXX＇A＇

（2）设原始数据的协方差阵为V，若原始数据进行了标准化处理，则协方差阵等于相关矩阵，即有：

（3）再由2.4.1节中主成分数学模型条件③和正交矩阵的性质，若能够满足条件③，则最好要求A为正交矩阵，即满足：

于是，将原始数据的协方差代入主成分的协差阵公式得：

Var(F)=AXX＇A＇=ARA＇=Λ

展开上式得：

展开等式两边，根据矩阵相等的性质，这里只根据第一列得出的方程为：

为了得到该齐次方程的解，要求其系数矩阵行列式为0，即：

显然，λ₁是相关系数矩阵的特征值，是相应的特征向量。根据第二列、第三列等可以得到类似的方程，于是λ_i是特征方程的特征根，a_j是其特征向量的分量。