2.4.2　数据主成分分析的几何解释

假设有n个样品，每个样品有两个变量，即在二维空间中讨论主成分的几何意义。设n个样品在二维空间中的分布大致为一个椭圆，如图2.2所示。

图2.2　主成分几何解释图

将坐标系正交旋转一个角度θ，使其在椭圆长轴方向取坐标y₁，在椭圆短轴方向取坐标y₂，旋转公式为：

写成矩阵形式为：

其中，U为坐标旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有U＇=U-1，UU＇=I，即满足sin2θ+cos2θ=1。

经过旋转变换后，得到图2.3所示的新坐标。

图2.3　新坐标

新坐标y₁–y₂有如下性质：

（1）n个点的坐标y₁和y₂的相关几乎为零。

（2）二维平面上的n个点的方差大部分都归结为y₁轴上，而y₂轴上的方差较小。

y₁和y₁称为原始变量x₁和x₂的综合变量。由于n个点在y₁轴上的方差最大，因此将二维空间的点用在y₁轴上的一维综合变量来代替所损失的信息量最小，由此称y₁轴为第一主成分，y₂轴与y₁轴正交，有较小的方差，称它为第二主成分。