推荐序一

我指导的学生张国强（笔名昍爸）2008年在中国科学院计算技术研究所获得博士学位后，到南京师范大学工作，现在是该校计算机学院的教授，还获得过“百名青年领军人才”荣誉。他在读中学时曾获得全国数学联赛一等奖、江苏赛区第一名，高考数学满分。2016年，他在微信上开设公众号“昍爸说数学与计算思维”（昍bamath），给中小学生和数学爱好者讲解数学思维，受到广泛好评。2020年，中国妇女出版社邀请他写了一本科普著作《给孩子的数学思维课》，并约我写序，我欣然同意。因为给大人们看的数学科普著作不少，而给孩子们传播数学思维和计算思维的书尚不多见，所以这本书值得推荐。

奥数在中国曾经牵动千家万户，因为奥赛的佼佼者不仅可以高考加分，而且可以免试进入清华、北大等重点高校。无数家长逼着孩子上课外奥数班，多数孩子在被灌输的“难题”“怪题”中没有体会到钻研数学的乐趣，反而感到苦不堪言，因为他们没有从奥数教育中培养出数学思维的兴趣，更没有产生强烈的好奇心。其实，奥数的本意并不是在课堂教育之外超前学习更多的数学知识，也不是学一些对付“脑筋急转弯”的“套路”，奥数与数学课堂教育的目的都是培养学生的数学思维能力。我相信，如果按照《给孩子的数学思维课》一书中所介绍的方法去教奥数或者上正规的数学课，孩子们对数学一定会产生浓厚的兴趣。

我上初中的时候，似懂非懂地读了一本封面已泛黄的书《科学概论》。书中讲了一个有趣的故事：很久以前埃及有个残暴的国王，他每天都要杀一个人，杀人之前要被杀者讲一句话，如果讲的是真话就要被砍头，如果说假话就要被绞死。一句话非真即假，因此没人能逃脱被杀的命运。然而有一个聪明人，他讲了一句话：“我是被绞死的。”这样国王砍他头不行，绞死他也不行，只好把他放了。这个故事讲的是“数理逻辑”，我读完这个故事后觉得太神奇了，当时就想长大了一定要研究这门学问。后来，我几经波折终于还是做了计算机与人工智能研究的工作，这个工作与数理逻辑有很密切的关系。我感受到，小时候的兴趣和好奇真的可以受益一辈子。

《给孩子的数学思维课》这本书最大的特点是汇集了在生活中培养数学思维的案例，把抽象的数学思维方法讲得明明白白、引人入胜。用一个班36个学生同年同月同日生的可能性高于80%的“生日悖论”解释了概率思维；从三刀能将生日蛋糕切成多少块提炼了抽象思维；从报数游戏和汉诺塔游戏中总结出逆向思维和递归思维；书中还有许多有趣的生活案例分别阐述了整体思维、极限思维、对称思维，等等。这些思维方式都是数学的真谛，数学思维能力的培养比死记硬背数学公式、用题海战术对付考试重要得多。

人类是群居的动物，天性倾向于随大流和听信他人。数学思维并不是人的本能，只能靠后天刻意培养才能习得。多数家长只关心孩子学到了多少知识，一些很吸引眼球的电视节目也多半是表现天才青少年惊人的记忆能力，但在互联网如此发达、信息触手可及的今天，记忆能力已显得不那么重要，掌握科学思维方法比熟记很多知识更有价值。完整的科学思维体系是螺旋式上升的循环：观察事实—用逻辑推出结论—批判性看待结论并对其进行调整—寻找新的事实。对于中小学生而言，最核心的教育是培养孩子的品格，包括对未知世界发自内心的好奇心、勇于尝试新事物的热情、审辨性的独立思考（critical thinking）。《给孩子的数学思维课》旨在播下数学思维的种子，让孩子们知道，书本之外还有更丰富的世界，鼓励他们主动将生活中遇到的现象与书本知识联系起来。数学源于生活，又要回到生活中去，再高深的数学最终还是要融入科学实践、生产实践和社会实践中去，离开了人类的实践活动，灿烂的数学之花必将枯萎。

严格地讲，数学是以不可证伪的公理为基础的学科，不属于自然科学，（可以证伪是自然科学的基本属性）而是形式科学，但数学思维和一般的科学思维有许多共同之处。数学思维和科学思维不是冷冰冰的说教，而是有“温度”的，这种温度就是“情感”。情感是人对客观事物所持的态度体验，特别是对人类社会需求的态度体验。著名数学家丘成桐先生说过：“中国的理论科学家在原创性上还是比不上世界最先进的水平，我想一个重要的原因是我们的科学家人文的修养还是不够，对自然界的真和美感情不够丰富。”回顾科学发展史可以发现，在解决关键的科学问题时，科学家的主观感情起着极为重要的作用，这种感情是科学发现的原动力！如果一个年轻人对自己要钻研的学问怀有浓厚的感情，就不但能“独上高楼，望尽天涯路”，还能“衣带渐宽终不悔”。高尚情感的养成与人文教育密切相关，有志于科学研究的年轻人不但要重视数学思维的训练，还要重视人文素质的培养。

20世纪80年代我在美国普渡大学读博士时，普渡大学计算机系曾做了一次“计算机学者的成就与中小学基础教育的相关性调查”，跟踪与溯源调查结果表明：计算机系毕业生取得成就的大小与他是否及早接触计算机相关性不大，即计算机从娃娃抓起的学生没有明显优势，而与中学的语文和数学成绩有较强的相关性。人们很容易理解计算机与数学强相关，但往往不太理解为什么与语文强相关。美国没有单独的语文课，语文课包括阅读、写作、沟通等一系列课程。阅读拓宽视野，启迪思维；写作使人逻辑清晰，思想深刻；沟通强调传递思想的理性和效率。这些素质不仅是对计算机学者的要求，而且对其他科研领域同样重要。美国SAT考试（相当于我国的高考）只考阅读、写作、数学三科，可见对语文教育的重视。我国最近几年才取消高考文理分科，许多中学生还是重理轻文。中学是基础教育，要重视全面发展，防止过早学科化和专业化。世界上许多大科学家都是文理兼备，如爱因斯坦、玻尔、普朗克等。著名物理学家李政道，数学家丘成桐、苏步青等都有很高的文学修养。在数学和物理领域均有杰出成就、创立了超弦M理论又获得过菲尔兹奖的爱德华·威腾 (Edward Witten) 教授，被学术界誉为“当代的牛顿”，他读本科时是历史学专业的学生。因此，有志于增强数学思维能力的中学生要自觉地提高自己的人文素养，培养浩然之气。

中国工程院院士

第三世界科学院院士

中国计算机学会原理事长