麦子问题

古印度的舍罕王手下有个很聪明的宰相叫西萨·班·达依尔，传说这个宰相发明了国际象棋。舍罕王非常欣赏这个臣子，想要重赏他，然而这位精明的宰相却让他的国王吃了大数字的亏（图2）。

宰相对舍罕王说：“王啊，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我1粒麦子，在第二个小格内赏给我2粒，第三格内赏给我4粒，照这样下去，每一小格内的麦子数都比前一小格加一倍。我的国王啊，就请您把能摆满64个小格棋盘的麦子都赏给臣吧！”

舍罕王一听，暗自窃喜，本来以为宰相会狮子大开口，没想到只是这么点儿要求。舍罕王说：“你的需求不在话下，我现在就能满足你。来人，拿麦子来，现在就开始数。”

然而事情的发展超乎了所有人的想象，舍罕王很快就发现自己上当了。士兵扛来了一袋又一袋的麦子，却好像永远也不能满足宰相的要求，小小的棋盘就像一个无底洞，怎么都填不满。很快舍罕王就意识到，全印度的粮食都无法满足宰相的要求，因为这需要18,446,744,073,709,551,615粒麦子。

这简直是一个天文数字。

在代数学中，有一些数列中的每一个数都是前一个数的某个不变的倍数，这个倍数我们称为数列的公比，这样的数列我们称为几何级数或是等比数列，上面这个例子中涉及的数列就是一个公比为2的等比数列。

在高中数学课本里，会有专门的章节讲解这一类数列以及数列各项的和。这里我们不做过多赘述，直接给出上面例子中数列各项之和为（2⁶⁴-1）/（2-1）=2⁶⁴-1，写出结果就是18,446,744,073,709,551,615。

对于当时的人们来说，这已经相当于一个天文数字了。当时盛行的计量单位是蒲式耳，1蒲式耳和现在的35.2升差不多，含有约5,000,000粒小麦。

蒲式耳

英美的容量单位，用来计量谷物，1美蒲式耳约为35.2升，1英蒲式耳的36.37升。

因此要满足宰相的要求，需要给他4万亿蒲式耳的小麦，相当于全世界2000年的产量！

舍罕王这才意识到宰相给自己挖了一个填不完的大坑。而历史并没有因为这件事发生大的改变，我猜想那个舍罕王并没有忍气吞声地还债，很可能果断地砍掉了宰相的脑袋借机一劳永逸。

图2 西萨·班·达依尔宰相向国王请求赏赐