1.5.7 戴维南定理
电路分析的基本方法——支路电流法和节点电位法，都必须把电路中所有的支路电流或节点电位都求出来，才能得到某条支路的电压或电流，不能单独求解某条支路。但很多时候，对电路进行分析，只需要对一条支路进行分析，求得该支路上的电流或电压，并不要求分析整个电路。为了避免求解复杂的方程组，提出了以待求支路为外部电路，将电路除去该支路后剩下的电路网络等效为电源模型的分析方法，以提高局部电路分析的效率，这种方法统称为电源等效原理。这里的等效是指对外部电路等效，即剩下的网络用电源模型来代替，不改变外部电路两端的电压，或不改变外部电路的电流。将剩下的电路网络等效为电压源模型的分析方法，称为戴维南定理；将剩下的电路网络等效为电流源模型的分析方法，称为诺顿定理。
为了方便描述，需要引入三个概念：二端网络、无源二端网络及有源二端网络。以图1.51所示电路为例，说明这三个概念。
图1.51 演示二端网络的原电路
1）二端网络：有且仅有两个接线端的电路网络。二端网络是电路中的一部分电路，与外界只有两个接线端点。电路图中，一般用小圆圈来表示接线端点。在图1.51所示电路中，如果沿着点画线将电路看成两个部分，则两个部分的电路网络都只有两个接线端，如图1.52所示，那么就得到两个二端网络（见图1.52a和b），它们的接线端点是a和b。
图1.52 二端网络
a）无源二端网络 b）有源二端网络
二端网络可以是电路中的一部分网络，表示具有两个端口的一部分电路，是一种特定的电路网络，并不是要把这部分网络从电路中分离开才是二端网络。
二端网络也可以是具有两个接线端点的独立电路。
2）无源二端网络：不含有电源的二端网络。如图1.52a所示，该二端网络不含任何电源，只有电阻，所以是无源二端网络。
3）有源二端网络：含有电源的二端网络。如图1.52b所示，该二端网络含有电压源和电流源，所以是有源二端网络。
对任意无源二端网络，可以表示成图1.53a所示形式；对任意有源二端网络，可以表示成图1.53b所示形式。
图1.53 任意无源二端网络和任意有源二端网络的表示
有源二端网络还可以分为线性有源二端网络和非线性有源二端网络。线性有源二端网络是指完全由线性元件、独立电源或线性受控电源构成的有源二端网络；否则，该有源二端网络就为非线性有源二端网络。
由电阻和直流电源构成的电路是线性电路。由电阻和直流电源构成的有源二端网络就是线性有源二端网络。
戴维南定理：任意一个线性有源二端网络，对外部电路来说，可以等价成一个理想电压源串联一个电阻的电压源模型。该电压源模型中理想电压源的电压等于有源二端网络两个接线端的开路电压；串联的电阻等于将有源二端网络变为无源二端网络后，从两个接线端点看过去，该无源二端网络的等效电阻。
戴维南定理的等效示意图如图1.54所示。图中，将一个有源二端网络等效成了一个电压源模型，即一个理想电压源与一个电阻的串联电路。有源二端网络就是内部电路，接在a、b两个接线端之间的电路称为外部电路。戴维南定理指出：理想电压源的电压E等于a、b两点之间开路时，有源二端网络的开路电压Uab；串联电阻R0等于将有源二端网络变为无源二端网络后，从a、b两点看过去，该无源二端网络的等效电阻。
将有源二端网络变为无源二端网络是指，令有源二端网络中的所有电源都不起作用，得到一个二端网络，该二端网络是无源二端网络。令所有电源不起作用是指，令电压源两端的电压为0，即将电压源短路，令电流源的电流为0，即将电流源开路。
图1.54 戴维南定理等效示意图
根据戴维南定理得到有源二端网络的等效电压源模型后，可以用等效电压源模型代替该有源二端网络，放回到该有源二端网络所在的电路中，就可以很方便地求解接线端a、b之间外部电路的电压和电流了。
用戴维南定理分析电路的步骤如下：
1）将电路分成待求支路和有源二端网络两部分。在待求支路上或待求元件两端取两点a和b。将a、b间待求支路或待求元件所在网络作为外部电路，将a、b间另一部分电路作为有源二端网络。
2）求出有源二端网络的开路电压Uab。将a、b间的外部电路移开，得到开路的有源二端网络。对此开路的有源二端网络，求a、b两点间的电压Uab。
3）求无源二端网络的等效电阻R0。对2）中开路的有源二端网路，令其内部的所有电源均不起作用，即电压源短路、电流源开路，得到对应的无源二端网络。从a、b两点看过去，求此无源二端网络的电阻R0。
4）画出有源二端网络的等效电压源，并将移开的外部电路移回来，接到对应的a点和b点，得到与原电路等效的简化电路，再运用欧姆定律或基尔霍夫定律求外部电路的电流或电压。理想电压源的电动势E＝Uab，串联的电阻为R0。需要注意的是，电动势E参考方向的“+”在靠近点a的那一端，“－”在靠近点b的那一端。
【例题1.15】如图1.55所示电路，已知E1＝16V，E2＝8V，R1＝R2＝2Ω，R＝5Ω。试运用戴维南定理求流过电阻R的电流I。
解答：
1）在待求电阻R两端取两点a和b，以a、b为界，可以将原电路分为待求支路和有源二端网络两部分。如图1.56所示，点a和点b左边的电路就是有源二端网络，右边的电路就是待求支路，作为有源二端网络的外部电路。
图1.55 戴维南定理电路分析例题1
图1.56 戴维南定理电路分析例题1之电路划分
2）求有源二端网络的开路电压Uab。将点a和点b之间的外部电路移开，得到a、b间开路的有源二端网络，如图1.57所示。在电路中，只有一个回路，列回路电压方程可得
求得I1＝2A。对右边的开口回路列回路电压方程可得
3）求对应无源二端网络的等效电阻R0。将2）中开口的有源二端网络，令网络中电源都不起作用，得到对应的无源二端网络，这里只需将电压源E1和E2短路即可，如图1.58所示。从a、b两点看过去，此无源二端网络的等效电阻即是R0。求得
图1.57 戴维南定理电路分析例题1之开路电压
图1.58 戴维南定理电路分析例题1之无源二端网络
4）画出有源二端网络的等效电压源，理想电压源电动势E＝Uab＝12V，串联电阻R0＝1Ω。注意电动势E的参考方向，其“+”在靠近a点的那一端，“－”在靠近b点的那一端。
将移开的外部电路移回来，接到对应的a点和b点，得到与原电路等效的简化电路，如图1.59所示。对图1.59所示电路求电流I，显然非常简单，即有
图1.59 戴维南定理电路分析例题1之简化电路
求得I＝2A。
【例题1.16】如图1.60所示电路，已知E＝70V，R1＝5Ω，R2＝20Ω，R3＝42Ω，R4＝7Ω，R5＝13Ω。试运用戴维南定理求电阻R5中的电流I5。
解答：
1）在待求电阻R5两端取两个点a和b，将电路分为有源二端网络和待求支路（即有源二端网络的外部电路），如图1.61所示。
图1.60 戴维南定理电路分析例题2
图1.61 戴维南定理电路分析例题2之电路划分
2）将待求支路移开，得到a、b间开路的有源二端网络，如图1.62所示。求得
图1.62 戴维南定理电路分析例题2之开口的有源二端网络
3）令2）中有源二端网络的电源都不起作用，即电压源短路、电流源开路，变为对应的无源二端网络，如图1.63所示。求得a、b两点间的等效电阻为
4）画出有源二端网络的等效电压源，电压源的电动势US＝Uab＝46V，串联的电阻R0＝10Ω。将移开的待求支路移回来，接到对应的a点和b点，如图1.64所示。于是求得流过电阻R5的电流I5为
图1.63 戴维南定理电路分析例题2之无源二端网络
图1.64 戴维南定理电路分析例题2之简化电路