1.5.6 叠加定理

对线性电路，可以采用叠加定理来进行电路分析。运用叠加定理，将会使多电源共同作用的复杂电路，变为单电源作用的简单电路。所谓线性电路，是指由独立电源或受控线性电源与线性元件构成的电路。所谓线性受控电源是指受控电源的电压或电流，与控制源的电压或电流呈线性关系。所谓线性元件是指元件两端的电压U与电流I呈线性关系（即U＝aI+b，这里a、b为常数，且a≠0）的电路元件。特别地，如果某个电路元件，在实数空间，其上的电压和电流不成线性关系，是非线性元件，不能运用叠加定理进行电路分析，但在相量空间（参见本书第2章），其上的电压与电流呈线性关系，则在相量空间，该元件是线性元件，可以运用叠加定理进行电路分析。

在电路分析中，称电源的电流或电压为激励，因为它们是使电路工作的原因，称电路负载上的电压或电流为响应，因为它们是电源供电产生的结果。按照激励和响应的概念，线性电路的显著特点是，响应是激励的线性组合，也即是负载上的电压或电流，可以表达成电路中所有电源的电压或电流的线性组合。

电阻就是线性元件。由直流电源和电阻构成的电路是线性电路，可以运用叠加定理进行电路分析。

叠加定理：在有多个电源激励的线性电路中，电路中任一支路的电流，等于电路中各个电源单独作用时，在该支路中产生的电流的代数和；电路中任意两点间的电压，等于电路中各个电源单独作用时，在这两点间产生的电压的代数和。所谓某个电源单独作用，是指该电源起作用，而其他电源不起作用。在电路中，对电源不起作用是这样处理的：电压源不起作用，就是其输出电压为0，即将其两端短路，或称对电压源进行短路处理；电流源不起作用，就是电流源的输出电流为零，即将电流源两端断开，或称对电流源进行开路处理。注意，电源不起作用，在电路中是只对电源进行处理，不涉及电阻的处理，这里没有内阻的概念，所提到的电源均指理想电源。

单电源作用的电阻电路，一般可以用电阻的串并联等效变换来求解。所以，运用叠加定理分析电路时，多配合电阻等效变换法使用。在这样的单电源电阻电路中，如果电阻不是串并联连接，那就只能采用支路电流法或节点电位法这种通用方法来求解了。如果是这样，用叠加定理来分析电路就显得不够简单了，不如放弃使用叠加定理，一开始就直接采用通用方法分析电路。所以叠加定理更适用于元件串并联连接的线性电路。

运用叠加定理进行电路分析的一般步骤如下：

1）给电路中待求的电流或电压标上名称，并标上参考方向，有关系的电压或电流，其参考方向最好关联。

2）将各个电源单独作用的电路图画出来。要求标上待求电流名称或待求电压名称，该名称与原电路对应电流或电压的名称最好一样，通过加上标的方式区别；还要给待求电流或待求电压标上参考方向，该参考方向最好与原电路中对应电流或电压的参考方向一致。

3）逐个分析单电源作用的电路，求出待求电流或待求电压。

4）运用叠加定理，将各个电源单独作用的结果加起来，就是原电路中对应电流或电压的结果。

【例题1.13】如图1.49a所示电路，已知E＝10V，I_S＝4A，R₁＝10Ω，R₂＝R₃＝5Ω。试用叠加定理求流过R₂的电流I₂和理想电流源I_S两端的电压U_S。

解答：

1）在图1.49a中，在原电路中标上了待求电流I₂和待求电压U_S及其参考方向。

2）画出了各个电源单独作用的电路图。图1.49b中标出了待求电流I₂和待求电压U_S，并在其上标处加一撇，表示是第一个电源单独作用的结果，并且它们的参考方向与原电路中对应电流和电压的参考方向相同；图1.49c中标出了待求电流I₂和待求电压U_S，并在其上标处加两撇，表示是第二个电源单独作用的结果，并且它们的参考方向与原电路中对应电流和电压的参考方向相同。

3）逐个求解单电源电路。在图1.49b中，求得

在图1.49c中，求得

4）运用叠加定理，求原电路中的待求量，有

【例题1.14】在图1.50所示线性电路中，只有两个电源：一个电压源和一个电流源，电路中的线性负载以各种方式连接，构成了不含电源的电路网络，这个网络称为线性无源网络。已知：当E＝1V，I_S＝1A时，开口端的电压U₀＝5V；当E＝2V，I_S＝3A时，U₀＝12V。那么，当E＝3V，I_S＝10A时，U₀为多少？

解答：根据线性电路的特点可知，电路中的响应是激励的线性组合。所以有

其中，a和b为常数。

根据题意，将已知量代入式（1.59）可得

解得a＝3，b＝2。

所以U₀与电源的线性关系为

当E＝3V，I_S＝10A时，代入式（1.61）求得