4.2 频域低通滤波器
低通滤波器的功能是削弱或消除高频分量而保留低频分量。
4.2.1 理想低通滤波器
一个2D理想低通滤波器的转移函数满足下列条件：
其中，D0是非负整数；D(u, v)是点(u, v)到频率平面原点的距离，D(u, v)=(u2+v2)1/2。
图4-4(a)给出H(u,v)的剖面图（设D关于原点对称），图4-4(b)给出H(u,v)的透视图。这里的“理想”是指小于或等于D0的频率可以完全不受影响地通过滤波器，而大于D0的频率则完全通不过，因此D0也被称为截断频率。尽管理想低通滤波器在数学上的定义很明确，在计算机模拟中也可实现，但在截断频率处直上直下的理想低通滤波器是无法用实际的电子器件实现的。
图4-4 理想低通滤波器转移函数剖面图和透视图
例4-3 频域低通滤波与图像能量
图4-5(a)为图1-5(a)的傅里叶频谱，其上叠加的4个圆周的半径分别为5、11、45和68。这些圆周内分别包含了原始图像90%、95%、99%和99.5%的能量。若用R表示圆周半径，B表示圆周内（滤波后保留）的图像能量百分比，则有
其中，P(u, v)是f(x, y)的傅里叶频谱的功率谱。图4-5(b)～图4-5(e)分别为用由以上各圆周半径确定的截断频率对应的理想频域低通滤波器进行处理的结果。
图4-5 理想频域低通滤波的处理结果
由图4-5(b)可见，尽管只有10%的（高频）能量被滤除，但图像中绝大多数细节信息都已丢失，事实上这幅图像已无多少实际用途。由图4-5(c)可见，当仅5%的（高频）能量被滤除时，图像中仍有明显的振铃效应。由图4-5(d)可见，如果只滤除1%的（高频）能量，图像虽有一定程度的模糊，但视觉效果尚可。最后由图4-5(e)可见，在滤除0.5%的（高频）能量后，得到的滤波结果与原始图像几乎无差别。
4.2.2 巴特沃斯低通滤波器
在物理上可以实现的一种低通滤波器是巴特沃斯低通滤波器。一个阶为n、截断频率为D0的巴特沃斯低通滤波器的转移函数为
阶为1的巴特沃斯低通滤波器转移函数剖面图如图4-15所示，可见它在高低频率间的过渡比较平滑，所以不仅可以在物理上实现，而且得到的输出图像也没有明显的振铃效应。
图4-6 阶为1的巴特沃斯低通滤波器转移函数剖面图
在一般情况下，常取使H(u,v)的值降到最大值的某个百分比的频率为截断频率。在式（4-15）中，当D(u, v)=D0时，H(u, v) =0.5（降到最大值的50%）。另一个常用的截断频率是使H(u, v)的值降到最大值的
时的频率。
例4-4 利用频域低通滤波消除虚假轮廓
当图像由于量化不足而产生虚假轮廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。图4-7给出利用低通滤波消除虚假轮廓的示例。图4-7(a)为一幅将256级灰度均匀量化为12级灰度的图像，帽子和肩膀等处均有不同程度的虚假轮廓。图4-7(b)和图4-7(c)分别为用理想低通滤波器和用阶数为1的巴特沃斯低通滤波器进行平滑处理的结果，其中两个滤波器的截断频率所对应的半径均为30。可见，理想低通滤波器的处理结果中存在较明显的振铃效应，而巴特沃斯滤波器的处理效果较好。
图4-7 利用频域低通滤波消除虚假轮廓的示例