3.3　场地地震反应分析

为了预测某一工程场地的近地表运动以导出设计反应谱，计算该场地土的动应力和动应变以评估液化的危害性，以及确定地震时引起土或挡土结构失稳的动土压力，需要针对场地进行地震反应分析。场地地震反应分析（Ground response analysis）是岩土地震工程中最为重要和最常遇到的问题之一。

理想情况下，一个完全的场地反应分析应能模拟震源的破裂机制、应力波从震源至工程场地基岩地表的传播途径（常达数十千米）、确定覆盖于基岩之上的土层（通常不足百米）影响近地表运动的情况。但是，断层破裂的机理非常复杂，从震源到场地的能量转换与传播具有很多不确定的因素，采用理想方法在大多数工程应用中并不现实。实际上，常采用基于地震记录特性的经验性方法来预测地震动随距离的衰减关系，再辅以地震危险性分析（Seismic hazard analysis，见4.2节）就可估计特定场地的基岩运动特性。于是，场地反应分析问题就成了在场地基岩运动近似已知的情况下，如何确定覆盖于基岩之上的土层响应问题。覆盖土层在确定场地近地表运动特性时起着决定性的作用。

局部土质条件对震害的影响，多年来早已被认识。自1920年，地震学家，特别是近年来岩土地震工程师，发展了局部土质条件对强场地运动影响的一些定量预测方法，可分为解析法和数值法两大类。

解析法适用于均匀、线弹性体的总应力（不计孔隙水压力）地震波传播问题，而且只能在少数几种形状规则的场地地形条件下求解，例如剪切层（或剪切梁）法。解析法在研究不同地震波入射条件下场地地震放大效应的变化规律方面比数值法更为方便，而且还可用来校验部分数值法的精度和收敛性，有重要的实用价值。

数值法可适用于不同复杂地形和地质条件的分析，可考虑强震下土体材料非线性因素及孔隙水压力的影响，工程中广为应用的方法有有限元法、有限差分法、边界元法等。采用这些方法进行场地地震反应分析时，都要具备3个基本条件：确定基底输入地震动；确定场地土各土层的动力特性（土的动态应力-应变关系）；采用合适的计算方法和程序。

（1）基岩输入地震动的确定。可采用以下5种方法：

1）直接采用裸露基岩上的已有强震记录，按具体情况适当调整作为输入地震动。

2）将在地表获得的强震记录反演到基岩上，作为同次地震中没有获得记录的地点的地震输入波。

3）以深井岩层上强震记录的统计结果作为输入地震波。

4）采用满足平滑设计反应谱的人工地震波。

5）根据地震危险性分析给出的具有一定超越概率的基岩反应谱，来拟合人工地震波。

上述5种地震波输入方法在工程中均有采用。一般认为方法3）和5）较好，前者较后者更成熟，但不具有发生概率的概念。

在震中区附近，地面运动的垂直方向振动剧烈，且频率高，水平方向振动较弱；距震中较远处，垂直方向的振动衰减快，其加速度峰值约为水平方向加速度峰值的1/2～2/3。因此，对地震区的大部分建筑而言，水平方向的振动是引起结构强烈反应和破坏的主要因素，所以输入基底地震动一般假定为垂直向上的剪切波。

（2）土的动应力-应变关系。常用的模型有：等效黏弹性模型和非线性模型（黏弹塑性模型）。弹性模型、黏弹性模型、弹塑性模型也常有应用。

（3）场地地震反应计算方法。根据场地具体情况，可选用一维、二维及三维场地地震反应分析方法。若基岩以上的覆盖层是水平分层的，各层土是均匀的，且沿水平方向无限延伸，此时可采用一维场地地震反应分析方法。若需考虑复杂局部地表、地形，例如盆地、山坡、地下基岩面倾斜等不同埋藏地形等的影响，需要采用二维和三维分析方法。

土体的地震反应特性依赖于地震动的幅值及持续时间。强烈地震动，可使土体产生非线性；若持续时间较长，也增加了饱和土或部分饱和土的液化可能性。当土体反应在线弹性阶段时，其反应幅值与输入地震动幅值成正比。另一方面，当土体反应处于非弹性阶段时，土体可吸收大幅度地震动所携带的大部分能量。因此，在非弹性介质中传播的大震震动通常具有较低的加速度（与小震相比）和相应于长周期的大位移。这就要求结构系统增加适应这种大位移的能力，特别是对于具有中、长周期的结构，如高层建筑及大跨度桥梁等。

3.3.1　一维场地反应分析

如图3.3.1所示，首先定义一些常用来描述场地运动（Ground motion）的术语：

自由地表运动（Free surface motion）：覆盖土层自由表面的运动；

基岩运动（Bedrock motion）：覆盖土层底部（基岩顶部）的运动；

基岩露头运动（Bedrock outcropping motion）：当基岩出露于地表，其上点的运动；

岩石露头运动（Rock outcropping motion）：当上无覆盖层，基岩顶部的运动。

下面开始介绍最简单的一维场地反应分析基本理论。

一维场地反应分析基于如下假定：场地土层及基岩面在水平方向无限延伸，且土层的地震反应主要由从基岩竖直入射来的SH波控制。基于这种假设进行的场地分析结果与许多情况下的实测值具有较好地吻合。

3.3.1.1　线性方法

为便于分析，这里引入传递函数（Transfer function）的概念。我们将场地土层看作一个系统，地震波从基岩入射的加速度视为系统的输入，基岩上覆盖土层的多种反应如位移、速度、加速度、剪应力、剪应变可视为系统的输出。传递函数就是将各种输出量表示成输入量的函数。

基岩的运动时间历程（输入量），通常可采用快速傅里叶变换（Fast Fouriem Transform，简写为FFT）表示为傅里叶级数的形式。将基岩运动输入量的傅里叶级数的每一项乘以传递函数，就可得到覆盖土层运动反应（输出量）的傅里叶级数，然后采用逆傅里叶变换就可将以频率为自变量的反应表示成以时间为变量的形式。可见，传递函数决定了基岩运动的哪种频率分量会被场地覆盖土层所放大，而哪种频率分量又会被缩小。关于傅里叶级数和傅里叶变换的介绍，可参见附录E。

线性方法的关键是得到传递函数。下面介绍刚性基岩上覆均质无阻尼土、刚性基岩上覆均质有阻尼土、弹性基岩上覆均质有阻尼土、弹性基岩上覆多层有阻尼土等4种情况下的传递函数求法，以揭示覆盖土层对基岩地震动影响的一些重要特性。

（1）刚性基岩上覆均质无阻尼土。首先，考虑一覆盖在刚性基岩上的均质各向同性、线弹性土层，如图3.3.2所示。这里，假设从基岩入射的波动为竖直向上传播的SH波，在上覆土层内引起的水平位移具有简谐形式，即

式（3.3.1）与式（1.6.15）不同的是，复波数k＊被实波数k（k＝ω/cS）代替，因为这里将土体处理成线弹性材料而不是黏弹性材料。式中的ω表示地震动的圆频率，A和B分别表示沿-z（向上）和＋z（向下）方向传播的波引起的岩土颗粒的位移幅值。

在自由面处（z＝0），剪应力、剪应变应为零，即

将式（3.3.1）代入式（3.3.2），并微分，得

要满足式（3.3.3），需A＝B。于是位移表达式（3.3.1）可表示为

式（3.3.4）表示幅值为2Acoskz的驻波（Standing wave），它是由向上和向下传播的行波发生相长干涉（Constructive interference）所产生的，沿深度具有固定的波形。

式（3.3.4）可用来定义传递函数，以描述在土层中任意两点的位移幅值之比。选择土层的顶点和底点，传递函数定义为

传递函数的模即绝对值，定义为放大因子：

表示自由地表的反应位移与基岩输入位移幅值之比。因为式（3.3.6）的分母小于或等于1，所以｜F1（ω）｜≥1，即自由地表的位移比基岩位移大。当ωH/cS趋于π/2＋nπ，n＝0，1，2，…，即分母趋于零，则放大因子趋于无穷大，意味着共振的产生（图3.3.3）。这一非常简单的模型说明了土层的响应高度依赖于基岩运动的频率。产生强烈放大的频率值，取决于土层的几何（以厚度H表征）及材料特性（以剪切波速cS表征）。

（2）刚性基岩上覆盖均质有阻尼土。显然，前述土体位移的无限放大实际上是不可能发生的，因为没有考虑其固有的能量耗散即阻尼性质。假定土体为黏弹性材料，采用1.6.1节的开尔文-伏格特模型，在SH剪切波作用下的土体水平位移满足波动方程：

如同式（1.6.15），位移具有如下形式：

式中复波数k＊具有实部k1和虚部k2。

按与前节类似的推导，可得传递函数为

与频率有关的复剪切模量（见1.6.1节）为G＊＝G＋iωη，η＝2Gζ/ω，则复剪切波速可表示为

对于小阻尼比ζ，复波数可以写成

于是，式（3.3.9）可重写成

利用等式｜cos（x＋iy）放大因子可表示成

对于小的y，有sinh2　y≈y2，放大因子可近似为

式（3.3.14）表明有小阻尼覆盖土层对位移的放大也随着地震动频率ω而变。当ωH/cS趋于π/2＋nπ时，达到局部最大，但不会达到无限大（因为阻尼比ζ始终大于零，分母总是大于零）。使达到局部最大的一组频率称为土层的固有频率。对不同的阻尼值，放大因子随频率ω的变化如图3.3.4所示。比较图3.3.3和图3.3.4，可以看出阻尼对高频处反应的影响要大于在低频处的影响。

土层的第n阶固有频率由式（3.3.15）给出：

由于放大因子随土体固有频率的增加而降低，所以其最大值在最低阶频率（也被称作卓越频率或基本频率ω0）处产生：

相应于基本频率ω0的振动周期，被称为场地的卓越周期或基本周期Ts，为

式（3.3.17）正是式（3.1.4）。场地的卓越周期Ts仅依赖于覆盖土层的厚度H及剪切波速cS。土层最显著的放大效应在卓越周期处产生。

在每一个固有周期上，土层内将产生驻波。前三阶振动形态即振型（Vibration mode）如图3.3.5所示。注意，基本模态即第1阶模态下土层的位移沿深度都同相位，但对高阶振型却不是这样。在高于基本频率的那些频率值处，土层是部分沿一个方向运动，另一部分运动方向却相反。关于振型的概念，详见5.4节。

（3）弹性基岩上覆盖均质有阻尼土。前两节给出了刚性基岩上覆盖土层对位移的放大因子。基岩是刚性的，意味着其运动不受上面覆盖土层的存在或其运动的影响。对上覆土层来说，刚性基岩就相当于一个固定边界，土层中任何向下传播的波动都将被此刚性固定边界完全反射回来，因此所有的弹性波动能量都被“困束”在此覆盖土层中。

如果基岩是弹性的，向下传播的应力波到达土-基岩界面时将被部分反射回来并向上传播；另一部分能量将穿过此界面继续向下在岩石内传播。若下部岩石足够深，这部分能量将不再被反射回来而相当于逃逸出该土层。这是辐射阻尼的一种形式，它所引起的自由地表运动幅值将小于刚性基岩情况。

考虑弹性基岩半空间上覆一土层的情况（图3.3.6）。

用下标s和r分别表示土和岩石，沿竖向传播的SH波在土和岩石中所引起的颗粒质点水平剪切位移可写为

如前，在自由地表处剪应力及剪应变为零的条件要求As＝Bs；另外，在土-岩石交界面上，位移和应力需要满足连续条件：根据剪应力的定义式（3.3.20）变为

将式（3.3.18）代入式（3.3.19），可得

或

比值

其中分别为土和基岩的复剪切波速，为复阻抗。求解式（3.3.21）和式（3.3.23），可得

假定通过岩石竖直向上传播的剪切波，其波幅为A。如果土层不存在，在基岩露头处，因剪应力和剪应变为零的条件要求其运动振幅为2A。由于土层的存在，根据式（3.3.25）和图3.3.6，自由地表的位移振幅就变为

定义传递函数F3，即土层顶面与基岩露头处的位移振幅之比：

进一步利用欧拉公式，式（3.3.28）可重写成

当土的阻尼存在时，F3（ω）的模就不能写成紧凑的形式。为了强调说明基岩刚度的影响，可令土的阻尼比ζ＝0，放大因子｜F3（ω）｜可表示为

由此可知，共振现象不可能发生，因为式（3.3.29b）中的分母永远大于零，即使土的阻尼为零。基岩的刚度对放大因子的影响体现在阻抗比上，如图3.3.7所示。进一步将该图与图3.3.4比较，可知土体的阻尼与基岩的刚度对位移放大因子的影响具有相似性——都阻止了分母取零。这种辐射阻尼效应在实际中很重要。基岩比上覆土层越硬，则阻抗比越小，放大因子越大，即土体对位移的放大影响就越强。

（4）弹性基岩上覆盖多层有阻尼土。实际问题中，场地土层通常是多层的，并有不同的刚度、阻尼及反射和透射波动能量的多个边界。下面来推导多层土的传递函数。

如图3.3.8所示，考虑某场地土由N层水平土层构成，第N层是基岩，其深度为无限∞。假定每层土均为开尔文-伏格特型的黏弹性体，满足波动方程的位移解具有如下形式：

式中A和B分别表示-z（向上）和＋z（向下）传播的波所引起的位移振幅。因剪应力等于复剪切模量G＊和剪应变的乘积，并根据式（1.6.9），有

对每层土，引入一局部坐标系Z。第m层土的顶部和底部位移为

对于第m-1和第m层土的交界面，由位移连续条件，有

将式（3.3.32）代入式（3.3.33），有

第m层顶部和底部的剪应力为

在各层交界面处，应力也必须是连续的，所以有

将式（3.3.35）代入式（3.3.36），有

将式（3.3.34）和式（3.3.37）分别进行相加和相减，得到如下递归算式：

其中是第m层与第m＋1层在交界处的复阻抗：

在土层自由地表，剪应力必须等于零，故由式（3.3.35a）可得A1＝B1。将递归表达式（3.3.38）遍历第1到m层，则联系第m层和第1层的位移振幅关系式可表示为

其中

联系第i，j土层顶部的位移传递函数由式（3.3.41）给出：

式（3.3.41）表明，任一土层的运动（位移、速度或加速度）都可从其他任一层的运动导出。因此，在场地土层中任一点的运动若已知，在其他点的运动就可以计算出来。

特别地，联系第1层和第j层的位移传递函数为

式（3.3.42）的推导中用到a1（ω）＝1.0，b1（ω）＝1.0。

在基岩露头处，入射波与反射波传播方向虽相反，但振幅是相等的，所以

式（3.3.43）中的下标N′表示相应于基岩露头的位移系数。考虑到在基岩层（第N层），无论上面是否有覆盖层，入射波与反射波的振幅相等这一事实，进一步结合上式，有

因此，第一层土表面与基岩表面的位移传递函数可以表示为

由式（3.3.45）可知，可用基岩的运动来确定覆盖土层表面的运动。

对于简谐运动，存在关系，式（3.3.41）或式（3.3.45）也可用来作为加速度或速度的传递函数。

3.3.1.2　等效线性化方法

众所周知，土具有材料非线性。因此，要对线性方法进行修正以合理估计实际的场地响应问题。

土体在静力荷载作用下具有相当复杂的力学行为，更不用说在地震这种循环往复动力作用的情况了。如何采用简化、合理而又有足够精度的力学模型来描述土体的地震反应，是一个比较复杂的问题。

典型土在受到对称循环荷载作用产生大应变时，具有如图3.3.9所示的非线性滞回行为。滞回圈是由初始加载曲线OB、卸载曲线（BC、DE）、再加载曲线（CD、EF）所围成，其形状可由两个重要几何特征即斜度（或倾角）和宽度来描述。

斜度依赖于土的刚度，可采用在加载过程曲线中任一点的切线剪切模量Gtan来表示。显然，Gtan在一个加载循环中是变化的量，在低应变接近于零值处最大（为Gmax），并随着剪应变幅值γc的增加而降低，它在一个完整滞回圈中的平均值可用割线剪切模量Gsec来近似，且

式中的τc和γc分别是一个加载过程中剪应力幅值和剪应变幅值，如图3.3.9所示。这样，可采用Gsec描述滞回圈的斜度。

至于滞回圈的宽度，则与滞回形状所围的面积有关。面积是循环过程中耗散能量的一种度量，可以方便地由阻尼比来描述（见1.6.1节）：

式中：ΔW和W分别为一个循环中耗散的能量和储存的最大应变能；Aloop为滞回圈的面积。

等效线性模型不对滞回圈的形状作严格要求，只需要滞回圈的斜度及滞回圈所围的面积随剪应变幅值的变化与土体的实际性状保持大体相似即可，而不用考虑土体在循环往复动力荷载作用下的能量耗损的复杂本质。参数Gsec和ζ通常被认为是土的等效线性模型所采用的两个最重要的材料参数。

等效线性模型仅是土的实际非线性行为的一个近似，不能直接用来求解土体的永久变形或破坏问题。这是因为等效线性模型在循环荷载结束后应变会归于零，并且因为是线性材料故没有极限强度，失效不会发生。但是，在实际问题中对于一些特定类型的场地地震反应分析，等效线性化计算模型仍很有效并得到广泛应用。对于另外一些分析类型，则要求模拟滞回圈的实际路径，通常需采用循环非线性模型等复杂本构模型。

为了更好地理解等效线性化方法与模型，有必要先介绍哪些主要因素影响土的剪切模量Gsec和阻尼比ζ。

（1）剪切模量。室内试验表明，土的刚度受土的循环剪应变幅值、孔隙比、平均有效主应力、塑性（用塑性指数PI表示）、超固结比及循环次数的影响。各循环应变幅值对应的滞回圈顶点的轨迹，称为骨架曲线，如图3.3.10（a）所示，即图3.3.9中的曲线ECOBDF。

最简单的确定剪切模量Gsec和阻尼比ζ的办法，是直接利用试验测定Gsec和ζ与动剪应变幅值γc关系的数据点进行插值查取，无需定义准确的骨架曲线和滞回圈，使用比较方便。有一些模型根据试验结果的规律，直接建立剪切模量Gsec和阻尼比ζ与动剪应变幅值γc的关系，不直接定义骨架曲线和滞回曲线的形式。

例如，常用的Hardin-Drnevich模型和Ramberg-Osgood模型都是根据假定的骨架曲线和滞回圈的形式来确定剪切模量Gsec和阻尼比ζ与动剪应变幅值γc的关系。

1）Hardin-Drnevich模型。该模型采用双曲函数来描述骨架曲线：

式中：Gmax为骨架曲线在原点处的斜率（对应接近于零的极低应变幅值），表示剪切模量的最大值；τmax为土的极限抗剪强度，为剪应变幅值趋于无穷大时的最大剪应力。

定义参考剪切应变为则割线剪切模量为

由式（3.3.49）可见，土的割线剪切模量Gsec随循环剪应变幅值γc的增大而减小，而剪切模量的比值Gsec/Gmax≤1。式（3.3.49）包括了两个力学参数：最大剪切模量Gmax和参考应变γref。只要根据实验确定了Gmax和γref，即可求得相应于任意动剪应变幅γc的割线剪切模量Gsec。

为便于书写起见，以后Gsec的下标sec将予忽略。土的刚度特征，要求考虑最大剪切模量Gmax以及模量比G/Gmax随循环剪应变幅值和其他参数的变化关系。模量比G/Gmax随剪应变的变化可用模量下降曲线来描述［图3.3.10（b）］。该曲线给出了与骨架曲线相同的信息，可由其中一个确定另外一个。

2）Ramberg-Osgood模型。该模型假定当剪应变幅值γc小于屈服应变γy时，割线剪切模量不随应变幅值衰减，即G＝Gmax；当剪应变幅值γc超过屈服应变γy时，骨架曲线为

式中：α为一个正数；r为大于1的奇数，表示超过屈服应变γy以后的非线性程度。α和r的值随土的种类不同而不同。对于砂土，α一般取1.7～2.5，r取1.8～2.0。

相应于式（3.3.50）的模量比为

式中τy＝Gmaxγy，相当于屈服应力。

最大剪切模量Gmax。如本章3.1.2节所述，在现场测得场地土层剪切波速cS及土层密度ρ后，利用Gmax＝ρc2S可求得最大剪切模量Gmax。当无法测试土层剪切波速时，可由其他原位或室内试验来估计Gmax，例如SL　237—99《土工试验规程》所推荐的共振柱试验法。表3.3.1归纳了影响正常固结土和中等超固结土的最大剪切模量Gmax的一些环境及荷载因素。

剪切模量比G/Gmax。土的塑性、孔隙比、围压、循环次数都对其剪切模量比G/Gmax产生影响。表3.3.2归纳了在应变水平给定的情况下，对于正常固结土和中等超固结土，影响剪切模量比G/Gmax的一些环境及荷载因素。

后来，还有一些学者给出了砂土、黏土等的G/Gmax随剪应变幅值的变化关系。例如，I.Ishibashi和X.Zhang给出了这样的表达式（3.3.52），同时考虑了有效围压σ′m和塑性指数PI对模量比G/Gmax的影响。其中，塑性指数PI对G/Gmax的影响如图3.3.11所示，平均有效围压σ′m对高、低塑性土G/Gmax的影响如图3.3.12所示。

式中

（2）阻尼比。理论上，在低剪应变幅值γc情况下是不会发生能量耗散的。但试验表明，即使在很低的应变水平，也要耗散一些能量。因此，土体的阻尼比ζ总是不为零。从滞回曲线随剪应变幅值γc的增加而变得越来越宽，可知阻尼比是随剪应变幅值γc的增加而增加的。

表3.3.3归纳了对于正常固结土和中等超固结土，影响土阻尼比ζ的一些环境及荷载因素。

如同割线剪切模量或模量比，有不少学者也给出了阻尼比随剪应变幅值的变化关系。

例如，在前面所述的Hardin-Drnevich模型中，阻尼比ζ由式（3.3.53）表达：

式中，ζmax为最大阻尼比，可由试验确定。由于G/Gmax随剪应变幅值γc而变化，因此阻尼比ζ也随γc而变化。

又如，在前面所述的Ramberg-Osgood模型中，阻尼比ζ由式（3.3.54）表达：

即最大阻尼比r是大于1的奇数，对于砂土，取1.8～2.0。

再如，I.Ishibashi和X.Zhang给出了一个估计塑性土和非塑性土的阻尼比ζ的经验关系：

如图3.3.13所示，在同一塑性剪应变幅值下，由式（3.3.55）给出的高塑性土的阻尼比ζ小于低塑性土的。该曲线可适用于粗粒土和细粒土。

砾石土的阻尼性质非常类似于砂土。

（3）等效线性化方法基本思想。如前所述，土在循环加载下的实际非线性应力-应变关系可以采用两个等效线性参数，即剪切模量（割线模量）G以及阻尼比ζ（在一个循环中所耗散的能量等于在一个实际的滞回圈中所耗散的能量）进行描述，它们的变化都依赖于土的应变幅值γc。一般在进行场地地震反应分析之前，曲线G-γc和ζ-γc应先通过室内试验、经验或统计关系确定。典型的G-γc、ζ-γc的变化曲线如图3.3.12、图3.3.13所示。

线性化方法要求每层土中G和ζ为常数。这样问题就变为如何确定与在每层土中产生的应变水平相一致的G和ζ。为了解决这个问题，需要客观地定义应变水平。室内试验通常采用最大剪应变幅值来表征应变水平，并给出在简谐荷载作用下土的模量比与阻尼比随峰值剪应变幅值的变化曲线。在一个典型的实际地震动作用下，土的剪应变时程是高度不规则的，并具有为数不多的几个峰值。图3.3.14给出了具有同等峰值的简谐剪应变（典型的一个室内试验）与瞬态剪应变（典型的一个实际地震动）的时间历程曲线。很明显，尽管峰值相等，简谐剪应变比瞬态剪应变代表了更为不利的加载条件。因此，通常采用等效剪应变γeff来表征瞬态剪应变的应变水平，其经验值为时程中最大剪应变幅值的50%～70%。由于计算反应值对百分数的大小并不特别敏感，所以通常取65%。

因为计算的应变水平依赖于等效线性参数G和ζ，这就要求采用迭代过程来保证分析中的G和ζ与计算应变水平相适应。如图3.3.15所示，迭代流程如下。

1）对于各土层，初始化给出小应变幅值γc下的G和ζ值。

2）根据G和ζ的估计值，采用上小节给出的针对多层有阻尼土的线性分析方法来计算场地反应，通过逆傅里叶变换（见附录E），得到各土层中点位置处的剪应变时间历程，并从中提取最大剪应变幅值γmax。

3）确定等效剪应变γeff。对于第j层，有

其中上标i表示迭代次数。

4）根据等效剪应变γeff及实测或经验的已知G-γc和ζ-γc曲线，确定下一次迭代所需的新G（i＋1）和ζ（i＋1）值。

5）重复第2）～4）步，直到前后两次每层土的计算剪切模量和阻尼比的迭代相对差值小于预定值而结束。通常经过若干个迭代就可使计算收敛。

尽管上述迭代过程看似可以考虑土的非线性，但由于采用了复反应分析法和叠加原理，所以仍属线性分析方法范畴。在地震持时过程中，与应变相容的G和ζ是常数，不论在特定时刻的应变是小应变还是大应变，这种方法不能反映地震过程中实际发生的土单元刚度的改变。尽管有不少缺点，但上述一维场地反应分析的等效线性化思想和方法，已被SHAKE72、SHAKE91、SHAKE2000等程序采纳并被工程界广泛应用。

3.3.1.3　非线性分析方法

尽管等效线性化方法计算方便，对于许多实际问题也能得到合理的结果，但对实际的场地非线性反应过程仍只是个近似。另外一种方法是，在时域中采用直接积分来分析场地的实际非线性反应。通过在微小时步内积分运动方程，任何线性或非线性应力-应变关系或复杂的本构模型都可以采用。通过一系列小的增量时间步，可以追踪土的非线性应力-应变曲线。对运动方程进行积分求解已经发展了不少技术，其中显式差分技术应用最为广泛。

当前应用的大多数非线性一维场地分析程序中，描述土的循环应力-应变模型有双曲线模型、修正的双曲线模型，Ramberg-Osgood模型、Hardin-Drnevich-Cundall-Pyke模型、Martin-Davidenkov模型和Iwan类模型以及其他的一些复杂本构如套叠屈服面模型等。关于这部分内容，已经超出本书的范围，有兴趣的读者可以参考有关文献。

3.3.2　二维或三维地表反应分析

一维场地反应分析方法适用于水平或略微倾斜的场地土层并具有平行边界情况。实际中还存在一些不能采用一维波动理论来处理的问题。例如表面具有斜坡或不规则地形的场地、修建有重量很大或刚性埋入的结构或存在挡土墙及隧洞的场地，都需要进行二维甚至三维分析。可以采用二维平面应变动力分析的典型例子如图3.3.16所示；需要采用三维动力反应或土-结构相互作用分析的典型例子如图3.3.17所示。

频域方法（以频率为自变量的分析方法）或时域方法（以时间为自变量的分析方法），都可以用来分析图3.3.16或图3.3.17所示的二维和三维实际地震反映问题。但频域方法只能用在叠加原理适用的线弹性问题中，无法在需考虑非线性因素（来自材料、几何、边界、接触状态等方面的非线性）的场合使用。而时域方法结合直接积分技术，可以用来解决各种线性和非线性动力分析问题。目前，时域或频域分析最常用的手段是结合数值方法，如有限元法、有限差分法、边界元法等。