第二章 弹性力学平面问题的基本理论

第一节 弹性力学两种平面问题

任何一个实际的工程问题严格来说都属于空间问题。但在多数情况下，常可以将空间问题简化为平面问题来进行分析。下面我们来讨论，弹性体必须具有什么样的受力状态（外力荷载）及几何形状，才能够简化为平面问题。

弹性力学平面问题可分为两类：一类称为平面应力问题；另一类称为平面应变问题。

一、平面应力问题

在工程中常见到这样一类结构，例如短而高的深梁（图2-1）、开有孔洞的剪力墙（图2-2）及开有孔洞或凹槽的受简单拉伸的钢板条（图2-3）等，它们都具有以下共同的特点。

（1）在几何外形上，它们都是等厚度的平面薄板。

（2）在受力状态下，面力都是作用在板边上，且平行于板面，并且不沿厚度变化；体力也平行于板面，并且不沿厚度变化。

设薄板的厚变为t，平分薄板厚度t的平面称为薄板的中面。外力合力应在薄板中面平面内。现在，以深梁为例，分析它们的应力特点。

设薄板的中面为xoy平面，垂直于中面的任一直线设为z轴（图2-4）。因为板面上不受力，故作用在该面上的应力必等于零（图2 5），所以有

那么，在薄板上的内部这些应力分析量是否也为零呢?不难想象，由于板很薄，外力又不沿厚度变化，应力沿着板的厚度应是连续分布的，因而，即使在薄板内部会出现这些应力，其值也是很微小的。因此，可以近似地假设在整个薄板的所有各点均有

σ_z=0；τ_zx=0；τ_zy=0

根据剪应力的互等关系，又可得τ_xz=0，τ_yz=0。这样，在六个独立的应力分析量中，只剩下平行于xoy坐标面的三个应力分量，即σ_x、σ_y、τ_xy相应的应变分析量ε_x、ε_y、γ_xy和位移分量u、v，都可认为是x和y的函数，而与z坐标无关。它们均沿板厚均匀分布。

这里应当注意的是，上面所述的弹性体，在与z轴垂直的两个侧面是不受约束的。因而，薄板在z方向可以任意变形，也就是说，沿z方向的应变ε_z和位移w并不等于零。在平面应力问题中有σ_z=0，而ε_z≠0。

二、平面应变问题

在工程中还会遇到另一类结构，如横缝灌浆的重力水坝（图2-6）、隧道（图2-7）、挡土墙（图2-8）、高压管道及船坞的底板等等。

这一类结构的共同特点如下。

（1）在几何形状上，它们都是一个近似等截面的长柱体，它们的长度要比横截面的尺寸大得很多。

（2）在受力情况上，它们都只受平行于横截面且沿纵向长度均布的面力和体力。有的在纵向的两端还受有约束。

下面分析它们的变形情况。

设长柱体的任一横截面为xoy坐标面，如图2-9所示，沿长度方向取为z轴。

两端的约束可分为以下两种情况。

第一种情况如隧道（图2-7）。柱形体很长，分析时可以假想该柱形体为无限长，其端点不受z方向的约束。此时，任一横截面都可以看作是对称面。由于对称，横截面上各点只有沿x和y方向的位移，而不会是沿z方向的位移，即w=0，由此得ε_z=0。又由对称条件可知τ_zx=0，τ_zy=0。利用剪应力的互等关系，可得τ_xz=0，τ_yz=0。

第二种情况如水坝（图2-6）。两端受到z方向岩层的约束，因此，两端面不能沿z轴方向移动。在此，我们设想将水坝沿z轴方向，切成许多厚度相等的的并在xoy平面内的薄片。这些薄片的几何形状和受力情况都是相同的，所以，这些薄片的应力、应变和位移分量，都可看成是x、y函数，而与z坐标无关。为此，我们可以近似地认为，柱体任一横截面上所有各点的轴向位移w=0。从而，沿z方向的正应变ε_z=0，各薄片的两侧面仍保持为平面，因此与z方向有关的两个剪应变γ_zx、γ_zy也必等于零，相应的剪应力τ_zy、τ_zx也就等于零。再根据剪应力的互等性τ_zy=τ_yz、τ_zx=τ_xz。这样独立的应变分量中，只剩下平行于xoy坐标面的ε_x、ε_y和γ_xy三个应变分量了。

上述两种边界约束情况，其共同特点是：任一横截面上，所有各点的z轴方向位移都等于零，沿z方向的正应变也等于零，并且，所有各点的位移矢量都平行于xoy坐标面，这种问题本应称为平面位移问题，但又因为应变分量只剩下平行于xoy坐标面的ε_x、ε_y和γ_xy了，变形也只发生在横截面内，因此，人们又把这类问题称为平面应变问题，习惯中常用后一种称呼。这里应当注意的是：平面应变问题有ε_z=0，但σ_z≠0。

需要指出的是许多实际工程问题，如隧道、挡土墙等，并不完全符合无限长柱形体的条件。但实践证明，对于离开两端足够远的截面，按平面应变问题进行分析，其计算结果完全可以满足工程上的精度要求。

上述两类问题有许多共同特点，统称为弹性力学平面问题。平面问题是工程实际中经常遇到的问题，但是，并不是所有工程问题都可简化为平面问题来处理。如薄拱坝、板的弯曲和两球体之间的弹性接触等等问题，都属于空间问题，都必须按空间问题去求解。