第二节 平衡方程——应力与外力的关系
下面推求平面问题中应力与外力之间的平衡方程的基本思路是：从弹性体中任一点处取出一个单元体，考虑其平衡，应用静力学的三个平衡条件，找出应力与体力的关系。
我们从薄板（或长柱体内）取出一个微小的单元体，如图2-10所示。单元体平面尺寸为dx×dy，厚度为t。微小单元体上作用有内部的体积力和四个侧面上的应力。
现在分析单元体上下、左右四个侧面上的应力情况。一般说来，物体内各点的应力分量是不相同的，它们应是坐标x、y的函数。因此，作用于左右两面三对面或上下两对面的应力分量不完全相同，而具有微小的差值。例如，设作用于左面的正应力是σx，则作用于右面的正应力，由于x坐标的改变，根据台劳展开式，将是
+…，略去二阶及二阶以上的微量后便是
。同样，设左面的剪应力是τxy，则右面的剪应力将是τxy+
其余类推。单元体各侧面上的应力分量如图2-10所示。由于单元体各侧面尺寸是微小的，在推导平衡方程时，我们又只考虑单元的合力。因此，各个面上所受的应力可以假设为均匀分布，并作用在对应面的中心。同理，六面体所受的体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的体积的中心。
图2-10
下面，根据三个平衡条件列出方程。
（1）各力在x轴方向上的投影代数和应等于零，由∑Fx=0，得
，简化以后，两边除以tdxdy，得
（2）同样，各力在y轴方向上的投影代数和应等于零，由∑Fy=0，可得
为清楚起见，将这两个式子排在一起：
式（2-1）表示平面问题中应力分量（σx、σy、τxy=τyx）和体力分量（fx、fy）之间的关系，称为平面问题的平衡微分方程。
（3）最后，各力对单元体中心的力矩代数和应等于零，由∑M0=0，得
，将上式除以tdxdy，合并相同的项，得到
将两边微量项
和
略去不计（即dx、dy趋于零），得出
这就再一次证明了材料力学给出的剪应力互等关系。
由式（2-1）方程看出，它包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx，仅用这两个方程是不可能求出三个应力分量的。因此，确定应力分量是超静定问题，还必须考虑变形条件，即几何条件和物理条件。
需要指出，对于平面应变问题，在图2-10所示的六面体上，一般还有作用于前后两面的正应力σz。但是，由于它们自成平衡，完全不影响方程式（2-1）及式（2-2）的建立，所以上述方程对于是两种平面问题都同样适用。