§2.8 考虑摩擦的平衡问题
在前面的物体受力分析中，将物体的接触面都假定为是绝对光滑的。而事实上，绝对光滑的接触是不存在的。当物体沿接触面有相对运动或相对运动趋势时，由于接触面存在不同程度的粗糙度，在接触处便会产生阻碍运动的阻力，这种阻力称为摩擦力。如果摩擦力相对物体所受的其他力比较很小，且对物体的运动效应无明显影响时，便可将摩擦力作为次要因素而略去不计。但在某些问题中，摩擦力对物体的平衡或运动起着决定性作用时，则必须考虑摩擦力。例如皮带轮传动与车辆的制动等便是依靠摩擦实现的，同时摩擦又具有消耗机器能量、磨损机件等害处，由于摩擦在不同环境下的利弊不同，因此掌握摩擦力的规律，就是为了扬长避短。
1.静滑动摩擦力和静滑动摩擦定律
两个相互接触的物体之间发生相对滑动或存在相对滑动趋势时，在两物体的接触面上就有阻碍滑动的机械作用存在，这种机械作用称为滑动摩擦力。滑动摩擦力作用在两物体的接触表面处，方向总是沿接触面的公切线，并和物体相对滑动或相对滑动趋势的方向相反。当两物体间尚处于静止状态，仅有相对滑动趋势时，两物体间的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力；而当两物体已经产生相对滑动时，两物体间的摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。
图2.62
为了说明静摩擦力的性质，可做一个简单的实验。放在固定水平面上的一个重为FG的物体受水平拉力FT作用，如图2.62（a）所示。物体平衡时，拉力的大小与砝码和盘的重量相等。实验表明，当拉力不大时，物体处于静止状态，物体的受力如图2.62（b）所示，在接触面上有一个阻止物体沿支承面滑动的力F存在，该力即为静滑动摩擦力（或静摩擦力）。由平衡方程∑Fx=0可得：FT-F=0，则有F=FT。当FT为零时，物体无滑动趋势，于是静摩擦力F也为零；当FT逐渐增大时，F的值也相应地增大。但当拉力FT增大到某一极限时，F就不会再增大，此时物体处于将动而未动的临界平衡状态。这时静摩擦力F的大小已达到最大值，称为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，用Fm表示。可见，静摩擦力F的大小总是介于零与最大静摩擦力之间，即
大量的实验证明，最大静摩擦力Fm的大小与两物体间的正压力FN成正比，即
式（2.25）就是静摩擦定律。式中的比例常数f称为静摩擦系数，其值可通过实验确定，它的大小与两接触面的材料、接触面的粗糙程度、温度和湿度等因素有关。表2.1列出了几种常见材料的静摩擦系数值。
2.动滑动摩擦力和动滑动摩擦定律
当图2.62所示系统中物体所受拉力FT值超过Fm时，物体与接触面之间将出现相对滑动，此时接触面上仍存在有阻碍物体相对滑动的力，该力即为动滑动摩擦力（或动摩擦力），用F′表示。其方向与物体相对滑动的方向相反。
实验表明，动摩擦力F′的大小也与接触面间的正压力成正比，即
式（2.26）称为动摩擦定律。式中比例常数f′称为动滑动摩擦系数，它除了与两接触面的材料、接触面的粗糙程度、温度和湿度等因素有关外，还与物体的相对滑动速度有关。多数情况下，f′值随相对速度的增大而略有减小，但当相对滑动速度不大时，f′值可近似地认为是个常数。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即f′＜f。常见材料的动摩擦系数f′值也列于表2.1中，可供参考。
表2.1 常见材料的摩擦系数
3.摩擦角和自锁
在考虑摩擦的情况下，接触面对物体的约束力由两部分组成，即法向反力FN和摩擦力F，它们可以合成为一个合力FR，称为全约束反力，如图2.63（a）所示。全反力FR与接触面法线间的夹角φ将随着摩擦力F的增大而增大，当物体处于平衡的临界状态时，F=Fmax，夹角φ也达到最大值φm，如图2.63（b）所示，夹角φm称为摩擦角。显然有
式（2.27）表明：摩擦角φm的正切等于静摩擦系数f。
图2.63
图2.64
因为静摩擦力的变化有一个范围（0≤F≤Fm），所以全反力FR与法线的夹角φ也有一个变化范围（0≤φ≤φm）。因此，物体处于静止时，全反力作用线所在的位置总在摩擦角内。
如果作用在物体上的主动力的合力
的作用线在摩擦角之内，如图2.64所示，则不论其大小如何，总有与
共线反向等值的全反力FR存在，物体始终处于平衡状态。这种现象称为自锁。显然，自锁条件为α≤ψm，即：主动力与法线夹角α小于或等于摩擦角ψm，物体将处于平衡状态。
工程中常用自锁原理设计某些机构和夹具，如螺旋千斤顶、压榨机等。但在另一些情况下，又要防止自锁现象发生，如水利工程中的水闸闸门启闭时，就应注意避免自锁，以防闸门卡住。
4.考虑摩擦时物体的平衡
考虑摩擦时物体的平衡问题，仍然可以应用平衡方程求解，只是在画受力图和列平衡方程式时，都必须考虑摩擦力。一般情况下，可考虑物体处于临界平衡状态时应满足的条件，补充最大静摩擦力方程（Fm=fFN）来进行计算。在计算过程中应注意以下几点：
（1）受力图中应包括摩擦力，摩擦力沿滑动面切向，指向与相对运动趋势相反，该方向不能随意假设。
（2）两物体接触面间的摩擦力，也是相互的作用力与反作用力。
（3）只有物体处于临界平衡状态时，才能应用补充最大静摩擦力方程Fm=fFN。
必须指出，由于静摩擦力可在零与最大静摩擦力之间变化，因此在考虑摩擦的平衡问题中，主动力也允许在一定范围内变化，所以关于这一类问题的解答往往是有变化范围的。
例题2.15 梯子AB长为2a，重为FG，A端置于水平面上，B端靠在铅直墙上，如图2.65（a）所示。设梯子与墙壁、梯子与地板的静摩擦系数均为f，问梯子与水平面所夹的倾角α最小为多大时，梯子能处于平衡？
图2.65
解：1.取梯子处于临界平衡状态为研究对象，其受力如图2.65（b）所示。当梯子处于临界平衡状态，其有向下滑动的趋势，A、B两处的摩擦力FA、FB都达到最大值，而梯子这时与地面夹角α是最小值αmin。
2.设置坐标系如图2.65（b）所示，列平衡方程求解。根据平衡条件和静摩擦定律可得
将式④、式⑤代入式①、式②得
由以上二式解出
将所得FNA代入式②求出FB，将FB和FNB之值代入式③，并消去FG及a得
再将f=tanφm代入上式，解出
可见
根据题意，倾角α不可能大于
，因此保证梯子平衡的倾角α应满足的条件是
例题2.16 物体重为FG，放在倾角为θ的斜面上，它与斜面间的静摩擦系数为f，如图2.66（a）所示。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。
解：1.取物体上滑的临界状态，物体受力如图2.66（b）所示。在此状态下，静摩擦力F沿斜面向下，并达到最大值Fmax。这时，水平力F1也就达到了其最大值F1max。列平衡方程求解。
列补充方程
三式联立，可解得
2.取物体下滑的临界状态，物体受力如图2.66（c）所示。在此状态下，摩擦力F沿斜面向上，并达到最大值Fmax，这时，水平力F1将为最小值F1min。列平衡方程求解。
图2.66
列补充方程
三式联立，可解得
3.确定平衡范围。综合上述两个结果可知，为使物块静止，力F1必须满足如下条件
在此例题中，如斜面的倾角小于摩擦角，即tanθ＜f，推力F1min=
为负值。这说明，此时物块不需要力F1的支持就能静止于斜面上；而且无论重力FG有多大，物块也不会下滑，这就是自锁现象。另外，此例题要求F1 的取值范围，为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析并讨论其解的平衡范围。
思考题
14.当汽车行驶在结冰的路面上时，采用什么办法可以防止打滑？
15.在风的作用下形成的沙堆，迎风面的坡度较小，背风面的坡度较大，沙的摩擦角等于迎风面的坡度还是背风面的坡度？为什么？
16.物体A放在粗糙的斜面上，如图2.67所示，设α＞φm（物体不自锁）。现在物体上加一个铅直向下的力F，力的大小可以任意改变。问加上此力后能否制止物体下滑？为什么？
17.已知桌子重FG，尺寸如图2.68所示。现以水平力F推桌子，当刚开始推动时，A、B两处的摩擦力是否都达到最大值？若A、B两处的摩擦系数相同，此时两处的摩擦力是否相等？当力F较小而未能推动桌子时，能否求出A、B两处的静摩擦力？
图2.67
图2.68
图2.69
18.如图2.69所示，物体B放在水平面C上，物体A放在物体B上，在物体A上作用一水平拉力F。设A、B之间的最大静摩擦力为FAB，B、C之间的最大静摩擦力为FBC。试就下列情况讨论A、B的运动状态。
习题
22.均质棱柱体重FG=4.8kN，放置在水平面上，摩擦系数f=1 3，力F按如图2.70所示方向作用；试问当F的值逐渐增大时，该棱柱体是先滑动还是先倾倒？并计算运动刚发生时力F的值。
23.混凝土坝的横断面如图2.71所示。设1m长的坝受到水压力F=3390kN，作用位置如图示。混凝土的容重γ=22kN/m3，坝与地面的静摩擦系数f=0.6。问：
（1）此坝是否会滑动？
（2）此坝是否会绕B点而翻倒？
图2.70
24.一升降混凝土吊斗的简易装置如图2.72所示。已知混凝土和吊斗共重FG=25kN，吊斗和滑道间的静摩擦系数f=0.3。试求出吊斗静止在滑道上时，绳子拉力FT的大小范围。
图2.71
图2.72
图2.73
25.如图2.73所示为一吊桥的锚固墩，吊桥的钢索锚固在墩内。已知钢索的拉力F=1960kN，锚固墩与地基的静摩擦系数为0.4。钢索与水平线间的夹角α=20°，求锚固墩不致滑动时的最小自重。