§2.7 物体系统的平衡
在工程实际中，常常会遇到由多个构件通过一定的约束联系在一起的结构，将这样的结构称为物体系统。研究物体系统的平衡问题，不仅需要求解整个系统所受的外部约束力，同时还须计算系统内各构件间的相互作用力。
1.物体系统平衡问题类型
物体系统平衡问题可分为静定平衡问题和超静定平衡问题等两类。当由n个物体组成的物体系统处于平衡时，则可形成n个平衡力系；整个物体系可得到的独立平衡方程数目，等于各个平衡力系可列独立平衡方程数目之和。若物体系统中的未知量数目等于或小于物体系统可列的独立平衡方程数目，则所有未知量都可由平衡方程组求出，这样的问题称为静定问题。当物体系统中的未知量数目大于物体系统可列独立平衡方程数目，未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为超静定问题。对于超静定问题，将在第9章中研究。如图2.51（a）所示多跨梁，各梁段受力如图2.51（b）所示；显然，梁段CD所受平面汇交力系，可列两个独立平衡方程；梁段AC所受平面任意力系，可列三个独立平衡方程；整个系统可列五个独立平衡方程，系统中有五个未知量，系统属于静定问题。图2.51（c）所示多跨梁，各梁段受力如图2.51（d）所示；虽然梁段CD是静定的，但梁段AC是超静定的，不能用静力平衡方程求出全部未知量。
图2.51
2.解物体系统平衡问题的要点
只要物体系统的平衡是静定问题，最原始的解题方法是，作出物体系中各个物体的受力图，列出各平衡力系的平衡方程，所有的平衡方程组成一个方程组，解此方程组，即可求出所有未知量。此种原始方法，虽然可行，但比较麻烦，计算工作量大，针对性不强。只要我们针对所求解的未知量，选取合适的研究对象以及采用合理的计算顺序，可以避免解联立方程组，大大地减少计算量，简捷地计算出所求未知量。
（1）正确作出物体系统的受力图。在作出各个物体和整个物体系统的受力图后，对于不需要求解的物体系中某些物体间的相互作用力（物体系内力），可以不解除这些物体之间的约束，再画出由这几个物体组成的物体系统局部受力图。注意同一约束力在各个对象上的表达方式要相同；注意各物体之间的作用力F与反作用力F′作用线共线，且绝对指向相反；在计算过程中，要特别注意作用力与反作用力的大小相等，正负号相同，即F′=F。
（2）确定研究对象的选取次序。首选研究对象的条件是：对象上未知量数目等于或小于此平衡力系所能列的独立平衡方程数目，即首选研究对象是静定问题；当没有符合上述条件的静定对象时，可观察是否存在除一个未知力外，其他未知力都汇交于一点或都相互平行的力系，符合这种条件的对象也可作为首选，这时，对其他未知力交点可列力矩平衡方程，或在其他未知力垂直方向列力投影平衡方程，可求出部分未知力，将这种对象称部分静定对象。因此，首选对象应是静定或部分静定的。当首选对象上的未知力求出后，则与首选对象有相互作用的其他物体上对应的反作用未知力就变成了已知力，这样，可针对所求未知量以及根据首选对象的条件，再选研究对象，进行求解。重复以上步骤，即可解出所有未知量。
例题2.11 如图2.52（a）所示为一拔桩架，AC、CB和CD、DE均为绳索。在点D用力F向下拉时，即有大于力F若干倍的力将桩向上拔起。若AC和CD各为铅垂和水平，CB和DE各与铅垂和水平方向成角α=4°，F=400N，试求桩顶A所受的拉力。
图2.52
解：此例可取绳段DC为研究对象，按平面任意力系求解，可用一个方程解出未知量。若按平面汇交力系求解，则是一个简单的物体系统的平衡问题。本题应先取绳结D为研究对象，求得绳索DC段所受的力，再研究C点的平衡，问题即可解决。具体步骤如下：
1.取绳结D为研究对象。画受力图、选取坐标系如图2.52（b）所示。
列平衡方程求解
2.选取绳结C为研究对象。画受力图并选取坐标系如图2.52（c）所示。
列平衡方程求解
将FTCD=FTDC=Fcotα代入上式得
绳索作用于桩顶上的拉力约为81.8kN。
例题2.12 如图2.53（a）所示四连杆机构，在图示位置平衡。已知OA=60cm，O1B=40cm，作用在摇杆OA上的力偶矩M1=1N·m，不计杆自重，求力偶矩M2的大小。
图2.53
解：1.受力分析。杆AB为二力杆，其对周围构件的作用力沿杆轴线。在杆OA上作用有主动力偶M1，根据力偶的性质，力偶只能与力偶平衡，所以在杆OA两端的约束力必形成力偶（FA，FO），约束力FA的作用方向被确定，杆OA的受力如图2.53（b）所示。杆O1B上作用一个待求力偶M2，作用在杆O1B两端的约束力也构成约束力偶（FB，FO1），杆O1B的受力如图2.53（c）所示。
2.取杆AO为对象，列平衡方程。
3.取杆BO1为对象，列平衡方程。
故由式②得
例题2.13 三铰刚架的受力及尺寸如图2.54（a）所示，已知F=32kN，q=5kN/m。求固定铰支座A、B和中间铰链C的约束力。
解：对物体系进行受力分析，确定选取对象及选取顺序。刚架共有六个未知大小的约束力，而两个构件AC和BC均受平面任意力系作用，故可列六个独立平衡方程，物体系统是静定问题。分别对刚架整体和AC、BC单个构件进行受力分析，如图2.54（b）、（c）、（d）所示。观察构件AC和构件BC的受力，未知力两两相交且两两平行，无论如何选取投影轴和矩心，每个平衡方程都将包含两个未知力，因而必须解联立方程组，才能解出这六个未知力。为避免解联立方程组，由刚架的整体受力图可知，作用在整体上的四个未知约束力虽然不能由三个平衡方程全部解出，若以点A为矩心，除力FBy外，其他三个未知力同时汇交于点A，由力矩方程可单独解出FBy；若以B点为矩心，同理也可解出FAy。故刚架的整体受力是部分静定的。当解出FBy和FAy后，即可再取构件AC或者构件BC为对象求出其他未知量。由以上分析可得，本题取研究对象的顺序是先取整体刚架，再取其中任一部分构件。
图2.54
1.选取整个刚架为研究对象，受力如图2.54（b）所示，列平衡方程求解。
注意：尽管由上式还解不出FAx和FBx，但是，还是要把两未知力之间的关系式列出，以备后边求解用，这样可避免重复选取对象的麻烦。
2.选取BC为研究对象，受力如图2.54（d）所示，列平衡方程求解。
将FBx值代入式①中，可得
例题2.14 组合梁由梁段AC和梁段CE用铰链连接而成，结构的尺寸和载荷如图2.55（a）所示。已知F=5kN，q=4kN/m，M=10kN·m。试求梁的支座约束力。
图2.55
解：1.取梁段CE为研究对象，受力如图2.55（c）所示，列平衡方程求解得
2.取梁段AC为研究对象，受力如图2.55（b）所示，列平衡方程求解得
思考题
11.判定图2.56（a）和（b）所示物体系统是静定问题还是超静定问题。
图2.56
图2.57
12.图2.57所示结构由AB、BC和CD等三个梁段组成的多跨静定梁，共有九个未知约束力，试分析求解这些约束力时选取研究对象的次序。
13.简支刚架和三铰刚架如图2.58所示，都作用了三个集中力F1、F2和F3，作用位置如图2.58所示。三个力的合力为FR，如图中虚线所示。对于这两个结构，用分力求支座约束力与用合力求出的支座约束力是否相同？为什么？
图2.58
习题
19.求图2.59所示各组合梁的支座约束力。
图2.59
20.各静定三铰刚架所受荷载及尺寸如图2.60所示。求支座约束力和中间铰处的约束力。
图2.60
图2.61
21.求图2.61所示组合刚架的支座约束力。