3.2 液体运动的相关基本概念

3.2.1 恒定流与非恒定流

若流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，这种流动称为恒定流，否则称为非恒定流。如图3.1所示，水从水箱侧壁孔口出流，当水箱有来水补充，水箱水位保持不变时是恒定出流；当水箱没有来水补充，水箱水位随时间不断下降时是非恒定出流。

恒定流中一切运动要素仅是空间坐标（x，y，z）的函数，与时间t无关，因此：

或

比较恒定流与非恒定流，前者少了时间变量t，使问题的求解大为简化。实际工程中，许多非恒定流动，由于流动参数随时间的变化缓慢，可近似按恒定流处理。

3.2.2 三维流动、二维流动、一维流动

若液体的运动要素是3个空间坐标和时间t的函数，这种流动称为三维流动（又称为三元流动）。若只是2个空间坐标和时间t的函数，就称为二维流动（又称为二元流动）。若仅是1个空间坐标和时间t的函数，则称为一维流动（又称为一元流动）。

严格讲，实际工程中的液体运动一般都是三维流动，但由于运动要素在空间3个坐标方向有变化，使分析、研究变得复杂、困难。所以对于某些流动，可以通过适当的处理变为二维流动或一维流动。例如，水流绕过长直圆柱体，忽略两端的影响，流动可简化为二维流动；管道和渠道内的流动，流动方向的尺寸远大于横向尺寸，流速取断面的平均速度，则流动可视为一维流动。

3.2.3 迹线与流线

1.迹线

液体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：

可得迹线微分方程:

式中时间t是自变量，x、y、z是t的因变量。

2.流线

流线是指某一时刻流场中的一条空间曲线，曲线上所有液体质点的速度矢量都与这条曲线相切，如图3.2所示。在流场中可绘出一系列同一瞬时的流线，称为流线簇，画出的流线簇图称为流谱。

设流线上某点M（x，y，z）处的速度为u，其在x、y、z坐标轴的分速度分别为ux、uy、uz，dl为流线在M点的微元线段矢量，dl=dxi+dyj+dzk。根据流线定义，u与dl共线，则：

展开上式，可得流线微分方程:

式中ux、uy、uz是空间坐标和时间t的函数。因流线是对某一时刻而言，所以微分方程中的时间t是参变量，在积分求流线方程时应作为常数。

根据流线定义，可得出流线的特性如下：

（1）在一般情况下不能相交，否则位于交点的液体质点，在同一时刻就有与2条流线相切的2个速度矢量，这是不可能的。同样道理，流线不能是折线，而是光滑的曲线或直线。流线只在一些特殊点相交，如速度为零的点（图3.3中的A点）称为驻点；速度无穷大的点（图3.4中的O点）称为奇点；以及流线相切点（图3.3中的B点）。

（2）图3.5是由不同管径组成的管流的流线图。通过该图可以看出：不可压缩液体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大；流线越稀，流速越小。

（3）恒定流动中，由于速度的大小和方向均不随时间改变，因此，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，由于速度随时间改变，因此，一般情况下，流线的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。

【例3.2】 已知二维非恒定流场的速度分布为：ux=x+t，uy=-y+t。试求：（1）t=0和t=2时，过点M（-1，-1）的流线方程；（2）t=0时，过点M（-1，-1）的迹线方程。

解：（1）由式（3.11），得流线微分方程。

式中t为常数，可直接积分得

ln（x+t）=-ln（y-t）+lnC

简化为 （x+t）（y-t）=C

当t=0，x=-1，y=-1时，C=1。则t=0时，过点M（-1，-1）的流线方程为

xy=1

当t=2，x=-1，y=-1时，C=-3。则t=2时，过点M（-1，-1）的流线方程为

(x+2)(y-2)=-3

由此可见，对非恒定流动，流线的形状随时间变化。

（2）由式（3.10），得迹线微分方程。

式中x、y是t的函数。将上式化为

解得

当t=0，x=-1，y=-1时，C1=0，C2=0。则t=0时，过点M（-1，-1）的迹线方程为

消去时间t，得

x+y=-2

由此可见，t=0时，过点M（-1，-1）的迹线是直线，流线却为双曲线，两者不重合。

若将该题改为二维恒定流动，其速度分布为ux=x，uy=-y，则可得过点M（-1，-1）的流线方程和迹线方程相同，说明恒定流动流线和迹线重合。

3.2.4 流面、流管、过水断面

1.流面

在流场中任取一条不是流线的曲线，过该曲线上每一点作流线，由这些流线组成的曲面称为流面，如图3.6所示。由于流面由流线组成，而流线不能相交，所以，流面就好像是固体边界一样，液体质点只能顺着流面运动，不能穿越流面。

2.流管

在流场中任取一条不与流线重合的封闭曲线，过封闭曲线上各点作流线，所构成的管状表面称为流管，如图3.7所示。由于流线不能相交，所以液体不能穿过流管流进、流出。对于恒定流动而言，流管的形状不随时间变化，液体在流管内的流动，就像在真实管道内流动一样。

流管内部的全部液体称为流束。断面积无限小的流束，称为元流。由于元流的断面积无限小，断面上各点的运动要素如流速、压强等可认为是相等的。断面积为有限大小的流束，称为总流。总流由无数元流组成，其过水断面上各点的运动要素一般情况下不相同。

3.过水断面

在流束上取所有各点都与流线正交的横断面称为过水断面。过水断面可以是平面或曲面，流线互相平行时，过水断面是平面；流线相互不平行时，过水断面是曲面，如图3.8所示。

3.2.5 流量、断面平均流速

1.流量

单位时间通过某一过水断面的液体量称为流量。流量可以用体积流量Q（m3/s）、质量流量Qm（kg/s）和重量流量QG（N/s）表示。涉及不可压缩液体时，通常使用体积流量；涉及可压缩液体时，则使用质量流量或重量流量较方便。对元流来说，可认为过水断面dA上各点的速度均为u，且方向与过水断面垂直，则dt时段通过dA的液体体积为udAdt，所以单位时间通过dA的液体体积流量为

dQ=udA

总流的流量Q等于通过过水断面的所有元流流量之和，则总流的体积流量:

Q=∫dQ=∫AudA

对于均质不可压缩液体，密度为常数，则

2.断面平均流速

总流过水断面上各点的流速u一般是不相等的，例如液体在管道内流动，靠近管壁处流速较小，管轴处流速大，如图3.9所示。为了便于计算，设想过水断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以断面平均流速v计算所得的流量与实际流量相同，即

3.2.6 均匀流与非均匀流

流场中所有流线是平行直线的流动，称为均匀流，否则称为非均匀流。例如，液体在等直径长直管道中的流动或在断面形状、大小沿程不变的长直渠道中的流动均属均匀流，如图3.10、图3.11所示；液体在断面沿程收缩或扩大的管道中流动或在弯曲管道中流动，以及在断面形状、大小沿程变化的渠道中的流动均属非均匀流。

均匀流具有以下特性：

（1）流线是相互平行的直线，因此过水断面是平面，且过水断面的面积沿程不变。

（2）同一根流线上各点的流速相等（但不同流线上的流速不一定相等），流速分布沿程不变，断面平均流速也沿程不变，并由此可见均匀流是沿程没有加速度的流动。

（3）过水断面上的动水压强分布规律符合静水压强分布规律，即z+=C。

上述均匀流过水断面上动水压强分布规律可用实验来演示这一规律。在图3.10的管道均匀流中任取一过水断面A—A，在该过水断面管壁四周的不同位置上安装若干个测压管，不同的安装点到基准面的距离z不同，但从观测可见所有测压管液面相平；在图3.11的明渠均匀流中任取一过水断面B—B，在该过水断面渠壁的不同位置上安装若干个测压管，我们同样可以观测到所有测压管液面相平；如图3.12所示。这些实验结果表明均匀流过水断面上各点的。

按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流。凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为渐变流，否则称为急变流。显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，可以认为，渐变流过水断面上的动水压强分布规律也近似地符合静水压强分布规律。

图3.13是水流通过实用堰的流动。图中流线夹角很小、流线近乎平行直线的区段，流动属于渐变流。而流线间的夹角很大、流线急剧弯曲的区段，流动属于急变流。水流是否可以看作渐变流与水流的边界有密切关系，当边界为近于平行的直线时，水流往往是渐变流。而管道转弯、断面扩大或收缩以及明渠中由于建筑物的存在使水面发生急剧变化处的水流都是急变流的例子。

因此，渐变流与急变流没有明确的界定标准，流动是否按渐变流处理，以所得结果能否满足工程要求的精度而定。

3.2.7 有压流、无压流

边界全部为固体（如为液体则没有自由表面）的液体运动，称为有压流。边界部分为固体，部分为大气，具有自由表面的液体运动，称为无压流。例如，给水管道中的流动为有压流；河渠中的水流运动以及排水管道中的流动是无压流。