3.1 描述液体运动的两种方法
研究液体运动的方法有拉格朗日法和欧拉法两种。
3.1.1 拉格朗日法
拉格朗日法以液体质点为研究对象，追踪观测某一液体质点的运动轨迹，并探讨其运动要素随时间变化的规律。将所有液体质点的运动汇总起来，即可得到整个液体运动的规律。例如在t时刻，某一液体质点的位置可表示为
式中 a、b、c——初始时刻t0时该液体质点的坐标。
拉格朗日法通常用t=t0时刻液体质点的空间坐标（a，b，c）来标识和区分不同的液体质点。显然，不同液体质点有不同的（a，b，c）值，故将（a，b，c，t）称为拉格朗日变量。
式（3.1）对时间t求偏导数，即可得任意液体质点的速度：
加速度:
采用拉格朗日法研究液体运动时，都以系统为对象。在水力学中，系统是指由确定的连续分布的液体质点所组成的液体团。系统一经选定，组成它的质点也就固定不变。系统具有如下特征：
（1）系统在运动过程中，其体积以及边界面的形状、大小和位置都可以随时间变化。
（2）系统边界的内部和外部没有质量交换，系统内的质量不变，即液体不能穿越边界流进、流出系统。
（3）对于系统，可直接应用力学定律，例如可将牛顿第二定律和功能原理直接应用于系统。
由于液体团在运动过程中会不断地变形，自始至终辨认、跟踪某一确定的液体团，通常是极其困难的。同时，结合工程实际需要，人们感兴趣的往往并不是某一确定的液体团的运动，而是某一固定空间区域内液体的运动规律。所以，在水力学中，一般不采用拉格朗日法，而采用较为简便实用的欧拉法。
3.1.2 欧拉法
与拉格朗日法不同，欧拉法着眼于流场中的固定空间或空间上的固定点，研究空间每一点上液体的运动要素随时间的变化规律。被运动液体连续充满的空间称为流场。需要指出的是，所谓空间每一点上液体的运动要素是指占据这些位置的各个液体质点的运动要素。例如，空间本身不可能具有速度，欧拉法的速度指的是占据空间某个点的液体质点的速度。
在流场中任取固定空间，同一时刻，该空间各点液体的速度有可能不同，即速度u是空间坐标（x，y，z）的函数；而对某一固定的空间点，不同时刻被不同的液体质点占据，速度也有可能不同，即速度u又是时间t的函数。综合起来，速度是空间坐标和时间的函数，即
u=u(x，y，z，t)
或
同理
式中 x、y、z、t——欧拉变量。
同样，欧拉法中某空间点的加速度是指某时刻占据该空间点的液体质点的加速度。而求质点的加速度就要追踪观察该质点沿程速度变化，此时速度u=u（x，y，z，t）中的坐标x、y、z就不能视为常数，而是时间t的函数，即
x=x（t），y=y（t），z=z（t）
则速度可表示成:
u=u［x（t），y（t），z（t），t］
因此，欧拉法中质点的加速度应按复合函数求导法则导出：
其分量形式:
由式 （3.7）可见，欧拉法中质点加速度由两部分组成：第一部分
表示空间某一固定点上液体质点的速度对时间的变化率，称为时变加速度或当地加速度，它是由流场的非恒定性引起的；第二部分
表示由于液体质点空间位置变化而引起的速度变化率，称为位变加速度或迁移加速度，它是由流场的不均匀性引起的。
应用欧拉法研究液体运动时，所选取的固定空间区域称为控制体，其边界面称为控制面。控制体具有如下特征：
（1）控制体的形状、体积和位置相对于选定的坐标系是固定不变的。
（2）控制面上可以有液体的流进、流出，液体可不受影响地通过控制体。
拉格朗日法和欧拉法研究液体运动是观察同一客观事物的不同途径，两种方法的表达式不同但可以互相转换，这里不予详述。
【例3.1】 已知流场的速度分布为：ux=2x-yt，uy=3y-xt。试求：t=1时，过点M（2，1）上液体质点的加速度a。
解：由式（3.8）得
当t=1、x=2、y=1时，有
ax=4m/s2
同理 ay=-2m/s2
即 a=4i-2j