2.5 重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡

如果液体相对于地球在运动，但相对于容器仍保持静止（各液体质点间及液体与器皿间无相对运动），这种状态称为相对平衡。在这种状态下，由于液体内部各质点之间及液体与容器边界之间均不存在相对运动，当把坐标系选取在容器上时，则液体相对于所取的坐标系而言，也处于静止状态。例如，相对于地面作等速直线运动、等加速直线运动或等角速旋转运动的容器中的液体，在运动容器经历一定的时间之后，便可看到这种相对平衡状态。

研究这类处于相对平衡状态下的液体中的压强分布规律，即可根据理论力学中的达朗贝尔原理，把坐标系取在运动的容器上，将运动问题作为静止问题来处理。此时，质量力除重力外，还有惯性力，可用液体的平衡微分方程来分析相对平衡问题。

液体的相对平衡状态有很多种形式，现仅以绕中心轴作等角速度旋转的圆柱形容器中的液体为例进行分析。

如图2.10所示，盛有液体的一半径为R的圆柱形容器绕其垂直轴心线以恒定角速度ω旋转，由于液体的黏性，液体在容器壁的带动下，最终也以同一角速度旋转，液体的自由表面也由原来静止时的水平面变成一个漏斗状的旋转抛物面，处于平衡状态。自由表面各点作用有气体压强p0。建立如下直角坐标系：坐标原点位于圆筒轴心线与液面交点上，z轴与圆筒轴心线重合，正向向上，xOy平面为一水平面，如图2.10所示。

在液体中划分一单位质量液体块，它到z轴垂直距离为r，显然r=。这一液体块随容器作等角速度圆周运动，其运动轨迹为一个与z轴垂直的圆，圆心在z轴上。根据达朗贝尔原理，对具有加速度的运动物体进行受力分析时，若加上一个与加速度相反的惯性力，则作用在物体上的所有外力 （包括惯性力），应保持平衡。所以，作用在上述液体块上的质量力应包括重力及离心惯性力 （其大小为F=ω2r）。液体块所受重力大小为g，方向铅垂向下。因而液体块在各坐标轴方向上的单位质量力分量为

fx=ω2rcosθ=ω2x

fy=ω2rsinθ=ω2y

fz=-g

将以上单位质量力代入液体平衡微分方程式（2.4），得到：

从而有

式（2.15）中的积分常数C用边界条件确定后即可得到液体中的压强分布。

边界条件即：r=0，z=0处p=p0，代入式（2.15）得到C=p0，由此得到液体内压强随r和z的变化规律：

液体内等压面方程可以由上式导出：给定一压强值p1（p1>p0），得到等压面方程：

这是一个抛物面。

液体表面各点压强为常数p0，因而自由表面为一等压面，将p1=p0代入式(2.17)，得到自由表面方程：

式(2.18)中，z0表示自由表面上任一点的z坐标，也就是自由表面上的点比抛物面顶点所高出的铅直距离，称为超高。用R表示容器的内半径，则液面的最大超高为

在xOy坐标平面以上的回转抛物体内的液体的体积为

上式说明圆筒形容器中的回转抛物体的体积恰好是高度为最大超高的圆柱体体积的一半。这个结论非常重要。

将式（2.18）代入式（2.16），液体内部压强的分布可表示为

式中 h——某点距离自由表面的高度，称为该点的淹没深度。

式(2.21)表明相对平衡状态的压强分布依然可用重力场中静压强基本计算公式进行求解。同时，应该注意在同一水平面内压强分布有显著区别：绝对静止液体在水平面内压强相等，而绕铅直轴作等角速度旋转运动的液体，压强随半径r变化，轴心处压强最低，边缘的压强最高。工程中的许多设备就是依据等角速度旋转运动液体压强分布特点进行设计的。

上述关系式是在液面敞开和坐标系原点建立在自由表面中心点导出的，应注意使用条件。坐标原点的另一种取法是选择容器底面与转轴的交点，应注意积分常数C的确定，如下例。

【例2.2】 一高H、半径为R的有盖圆筒内盛满密度为ρ的水，圆筒及水体绕容器铅垂轴心线以等角速度ω旋转，如图2.11所示。求由水体自重和旋转作用下，上盖和下盖内表面的压强(上盖中心处有一小孔通大气)。

解：将直角坐标原点置于下盖板内表面与容器轴心线交点，z轴与容器轴心线重合，正向向上。在r=0，z=H处水与大气接触，相对压强p为0，方程式（2.15）中积分常数C=ρgH，因此容器内相对压强p分布为

相对压强是不计大气压强，仅由水体自重和旋转引起的压强。在下盖内表面上z=0，从而相对压强只与半径r有关：

可见下盖内表面所受压力由两部分构成：第一部分来源于水体的旋转角速度ω，第二部分正好等于筒中水体重力。当z=H时，由式（2.21）得到上盖内表面的压强分布为

由式（2.24）可见，轴心处压强最低，边缘压强最高，压强与ω2成正比，ω越大，边缘压强也越大。离心铸造机就是利用这个原理。

盛满液体的容器，盖板上开孔的位置不同会造成压强分布的差异。现分析上题中，在上盖边缘开孔的压强分布情况。容器选择后，液体未溢出，坐标原点依然取在下盖内表面上，在r=R、z=H处水与大气接触，相对压强p为0，方程式 （2.14）中积分常数C=，因此得到容器内压强分布为

下盖内表面（z=0）的压强分布为

上盖内表面（z=H）的压强分布为

由式（2.27）可知，上盖内表面处液体处于真空状态，中心压强最小，边缘压强最大。离心式泵和风机就是利用该原理，使流体不断从叶轮中心吸入。