4.4 形心主惯性矩

主惯性轴的概念 图4.17所示为任意形状的平面图形，过图形任一O点可以作无数

对正交坐标轴，图形对不同轴的惯性矩是不相同的。但是，经数学证明，平面图形对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于该图形对该坐标原点的极惯性矩，即

I_xi+I_yi=I_x1+I_y1=I_P

一般情况下，在通过同一点的所有坐标轴中，图形只对其中的一个轴可取得最大惯性矩，对与最大惯性矩轴正交的另一轴可取得最小惯性矩。将通过平面图形上

图4.17

某点可取得最大和最小惯性矩的轴称过该点的主惯性轴，简称主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

以上结论表明，过平面图形上一点必有一对互相垂直的主轴；主惯性矩是平面图形对过该点的所有轴的惯性矩中的极大值和极小值。

形心主惯性轴的概念 通过平面图形形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形

心主轴。对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定。

如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，与此形心主轴垂直且通过图形形心的另一轴也为形心主轴

[图4.18（a）]。如果图形有两根对

图4.18

称轴，则两轴都是形心主轴[图4.18（b）]。如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都

相等[图4.18（c）]。

形心主惯性矩的概念 平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。如图4.18（a）所示，图中x_C、y_C为形心主惯性轴，该图形对通过形心C的任一轴η的惯性矩满足下列不等式

I_xC≥I_η≥I_yC

思考题

4.6 机械中的传动轴大多采用空心圆截面轴，这种轴有什么优点?

4.7 惯性矩反映了图形面积相对坐标轴分布的远近程度，梁横截面对其形心轴的惯性矩愈大，其抗弯能力愈大。你是否还可以在生活和工程中找出相似的实例?

4.8 平行移轴定理中，所求惯性矩的轴可以是任意的，但是对与此轴对应的图形形心轴有何要求?

4.9 已知图示三角形截面对z轴的惯性矩为I_z=b1h³2，用平行轴公式求得该截面对z₁轴的惯性矩为

I_z1=I_z+h²A=b1h³2+h²b2h=172bh³

此计算结果对不对?为什么?

思考题4.9图

思考题4.10图

4.10 图示为两截面图形，两截面中尺寸h和d相同，对比两截面对图示坐标轴的惯性矩大小。

习题

4.7 计算图示图形对z、y形心轴的惯性矩。

习题4.7图

习题4.8图

4.8 计算图示图形对z、y形心轴的惯性矩。

4.9 图示由两个20a号槽钢组成的平面图形，y、z轴为组合图形的形心轴。若要使

I_z=I_y，试求间距a的大小。

4.10 计算图示图形对z形心轴的惯性矩。图形由两根等边角钢组成。

习题4.9图

习题4.10图