4.3 惯性矩

惯性矩的定义 图4.9所示为一任意形状的平面图形，其面积为A，Oxy为平面图形

所在平面内的任意直角坐标系。在坐标为（x、y）的任一点处，取微面积dA，则可求得下述积分

I_x=∫_Ay²dA

㊣

㊣

（4.9）

I_y=∫_Ax²d

A

㊣

式中：I_x、I_y分别为图形对x轴、y轴的惯性矩。由上述定义可以看出，图形对轴的惯性矩恒为正，其单位是长度单位的四次方，即m⁴或mm⁴。根据积分中值定理，公式（4.9）还可表达成如下形式

图4.9

I_x=∫_Ay²dA=i²_xA I_y=∫_Ax²dA=i²_y ㊣

㊣

（4.10）

A

㊣

由图4.9可以看出，ρ2=x²+y²，将此式代入式（4.6）中可得

I_P=I_x+I_y

（4.11）

式（4.11）表明，图形对任一点的极惯性矩，恒等于此图形对过该点的任一对直角坐标轴

的两个惯性矩之和。

【例4.4】图4.10所示矩形，高度为h，宽度为b，x轴和y轴为图形的形心轴，且x轴平行矩形底边。求矩形截面对形心轴x、y的惯性矩。

解：取宽为b、高为dy且平行于x轴的狭长矩形的微面积为

dA=bdy

于是，由式（4.9）得矩形图形对x轴的惯性矩为

h/2

I_x=∫

y²bdy=bh³

-h/2

12

同理可得矩形图形对y轴的惯性矩为

I_y=hb³

12

图4.10

图4.11

【例4.5】图4.11所示圆图形，半径为R，x轴和y轴为其形心轴。求圆形截面对过形心的x轴、y轴的惯性矩。

解：由式（4.11）可知，图形对任一点的极惯性矩，恒等于此图形对过该点的任一对直角坐标轴的两个惯性矩之和，即

I_P=I_x+I_y

①

因为圆图形对任一形心轴的惯性矩均相同，即

I_x=I_y

②

将式②代入式①中可得圆形截面对形心轴x、轴y的惯性矩为

I_x=I_y=I2P=π2R⁴×12=π4R⁴

同理可得圆环截面对过圆心的任一x轴惯性矩为

I_x=π4R⁴（1-α⁴）

惯性半径 在工程中，因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯性矩表示为式（4.10）的形式，即将图形对轴的惯性矩定义为图形面积A与某一长度的平方之乘积，这一长度值可定义为

i_x=㊣IAx

㊣

㊣

（4.12）

i_y=㊣I_y

A㊣

式中：i_x、i_y分别为图形对x轴、y轴的惯性半径，单位为m或mm。

惯性矩的几何意义 惯性矩反映了图形面积相对于坐标轴的分布远近问题。如图

4.12所示的面积相同的两矩形，图4.12（a）对x轴的惯性矩I_x就小于图4.12（b）对x

轴的惯性矩I_x。在工程中，梁弯曲时横截面要绕截面形心轴转动，若截面对绕转动的形心轴惯性矩大，则梁的抗弯曲能力就大。

图4.12

图4.13

平行轴定理 图4.13所示为一任意平面图形，图形面积为A，设x′、y′轴为通过图形形心C的一对正交坐标轴，x轴、y轴是分别与x′轴、y′轴平行的另一对正交坐标轴，x′轴与x轴相距为a，y′轴与y轴相距为b。微面积dA在Oxy与Cx′y′坐标系中的坐标有如下关系

x=x′+b y=y′+a

则由式（4.9）可知，截面对x轴的惯性矩为

I_x=∫_Ay²dA=∫_A（y′+a）²dA=∫_A（y′）²dA+2a∫_Ay′dA+∫_Aa²dA

在上式中：等号右边第一项代表图形对形心轴x′的惯性矩I_xC；第二项中的积分∫_Ay′dA代表截面对形心轴x′的静矩，由本章第4.1节中所述可知，截面对形心轴x′的静矩应为零。于是可得如下等式

I_x=I_xC+Aa²

（4.13）

式（4.13）表明：截面对任一x轴的惯性矩，等于与此轴平行的形心轴x′的惯性矩加上图形面积与两轴距离平方之乘积。此定理称为惯性矩的平行轴定理。

组合图形的惯性矩 如图4.14所示组合图形，由惯性矩定义可知，组合图形对任一

轴的惯性矩等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯性矩之和，即

I_x=I_x1+I_x2+…+I_xn=ΣI_xi（4.14）

式中：I_xi为第i个图形对x轴的惯性矩，可根据

平行轴公式（4.13）计算。

图4.14

在计算组合图形对组合图形的形心轴的惯性矩时，首先应确定组合图形的形心位置；然后求出各简单图形对自身形心轴的惯性矩；再应用平行轴定理求各简单图形对组合图形形心

轴的惯性矩；最后应用式（4.14）求组合图形对其形心轴的惯性矩。

【例4.6】计算图4.15中的组合图形对x轴的惯性矩。

解：将图形可看成是由矩形中挖去圆形得到的组合图形。应用平行轴定理可求得各图形对x轴的惯性矩为

圆形：

I_x1=（I_xC+Aa²）₁=14×π×（25）⁴+π×（25）²×（75）²=11.4×10⁶（mm⁴）

矩形：

I_x2=（I_xC+Aa²）₂=112×100×（150）³+100×150×（75）²=112.5×10⁶（mm⁴）

整个图形对x轴的惯性矩为

I_x=I_x2-I_x1=112.5×10⁶-11.4×10⁶=101.1×10⁶ （mm⁴ ）

此组合图形中，圆是被挖去的图形，因此，在惯性矩求和时是要减去的。

图4.15

图4.16

【例4.7】求图4.16所示组合图形对x轴和y轴的惯性矩。

解：将此组合图形分解为三个矩形，应用平行轴定理可求得各图形对x轴和y轴的惯性矩。

矩形1：

a₁=3200+1020=200（mm），b₁=300-50=250（mm）

I_x1=（I_xC+Aa²）₁=112×100×（300）³+100×300×（200）²=1.425×10⁹（mm⁴）I_y1=（I_yC+Ab²）₁=112×300×（100）³+100×300×（250）²=1.90×10⁹（mm⁴）

矩形2：

a₂=0，b₂=0

I_x2=（I_xC+Aa²）₂=112×600×（100）³=0.05×10⁹（mm⁴）I_y2=（I_yC+Ab²）₂=112×100×（600）³=1.80×10⁹（mm⁴）

矩形3：

a₃=3200+1020=200（mm），b₃=（500-300）+1020=250（mm）

I_x3=（I_xC+Aa²）₃=112×100×（300）³+100×300×（200）²=1.425×10⁹（mm⁴）I_y3=（I_yC+Ab²）₃=112×300×（100）³+100×300×（250）²=1.90×10⁹（mm⁴）

整个图形的惯性矩为

I_x=I_x1+I_x2+I_x3=2.90×10⁹ （mm⁴ ）I_y=I_y1+I_y2+I_y3=5.60×10⁹ （mm⁴ ）