3.1 力在空间直角坐标轴上的投影

作用在物体上各力的作用线不在同一个平面内的力系称空间力系。若空间力系中各力作用线都汇交于一点，称为空间汇交力系；若空间力系中各力作用线都相互平行，称为空间平行力系；若空间力系中各力作用线在空间既不汇交于一点，也不全平行时，称为空间任意力系。在工程中，大多数空间力系可简化为平面力系来研究，但有时，却必须按空间力系来计算。

直接投影法 在空间直角坐标系Oxyz中，若作用于O点的力F与x、y、z轴正向间的夹角分别为α、β、γ，如图3.1所示。力F在三个直角坐标轴上的投影F_x、F_y、F_z为代数量，过力F的末端A作三条分别垂直于坐标轴的垂线，由点O到垂足间的距离为各投影的大小，正号反映了由起点向末垂足的方向与轴正向相同，负号反映了由起点向末垂足的方向与轴正向相反。力F在三个直角坐标轴上的投影为

F_x=FcosαF_y=FcosβF_z=Fcos

㊣

㊣

（3.1）

γ㊣

二次投影法 当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可将力F正交分解为

图3.1

图3.2

平行于z轴的分力F_z和平行于Oxy平面的分力F_xy，如图3.2所示。若已知γ角和φ角（φ为由x轴正向向F_xy的正向逆时针转的夹角），然后再把力F_xy投影到x、y轴上。于是力F在三个轴上的投影为

F_x=FsinγcosφF_y=FsinγsinφF_z=Fcos

㊣

㊣

（3.2）

γ㊣

在实际问题中，究竟采用哪种投影法则视已知条件而定。

用力的投影求力 如果已知力F在三个直角坐标轴上的投影F_x、F_y、F_z，由图3.2

可知。在直角三角形OaA′中，有F²_xy=F²_x+F²_y。在直角三角形OA′A中，有F²=F²_xy+

F²_z。则该力的大小为

F=㊣F²_x+F²_y+F²_z

（3.3）

由图3.1可知，该力的方向余弦为

cosα=F_x

㊣

F

cosβ=FFy cosγ=F_z

㊣

（3.4）

F㊣

【例3.1】已知一长方体上作用三个

力，三个力的大小分别为F₁=500N，F₂=

1000N，F₃=1500N，三个力的方向及长方

体的尺寸如图3.3所示。试求各力在三个坐标轴上的投影。

图3.3

解：由于力F₁、F₂与三个坐标轴正向间的夹角已知，因此用直接投影法，得

F_1x=500cos90°=0，F_2x=1000cos150°=-866（N）F_1y=500cos90°=0，F_2y=1000cos60°=500（N）

F_1z=500cos0°=500（N），F_2z=1000cos90°=0

求力F₃在三个坐标轴上的投影用间接投影法得

F_3x=1500sinγcos（360°-θ）=1500×㊣315.25×35=805（N）

F_3y=1500sinγsin（360°-θ）=-1500×㊣315.25×45=-1073.3（N）F_3z=1500cosγ=1500×㊣32.1.525=670.8（N）