2.2 平面力偶系的合成与平衡

力对点之矩的概念 在生产劳动中，人们用扳手拧紧螺母，如图2.7所示。手施于扳手的力F使扳手绕螺栓中心点O产生转动效应。转动效应的强弱，不仅与力F的大小成正比，而且与转动中心点O到力F作用线的垂直距离d成正比。选定的转动中心点O称为矩心，力的作用线到矩心的距离d称为力臂。于是力F对矩心点O的转动效应，可用力大小与力臂的乘积并冠一反映转向的正负号这个代数量度量，这个量称为力对点的矩，

用符号M_O（F）表示，即

M_O（F）=±Fd=±2A_△OAB

（2.7）

式中：力使物体绕矩心作逆时针转动时，力矩取正号，作顺时针转动时取负号。在判断力矩转向时，可将力的箭头向矩心一侧偏转后所指示的转向认为力矩的转向。力矩的单位为

N·m或kN·m。式（2.7）中A_△OAB为△OAB的面积，即由力的起点、末点和矩心点构

成的三角形面积，如图2.7所示。

显然，当力的作用线通过矩心，力对矩心的力矩等于零；当力沿其作用线滑动时，不改变力对指定点的矩；同一个力对不同的矩心，力矩是不同的。所以在描述力矩时，一定要指明矩心。

图2.7

图2.8

合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩，等于所有各分力对该点之矩的代数和。即

M_O（F_R）=ΣM_O（F_i）

（2.8）

证明：如图2.8所示，由F₁和F₂组成作用在点A的一汇交力系，其合力为F_R。以力作用点A和矩心O的连线OA为底边，分别以两个分力、合力为另一边可作3个三角

形（△OAB，△OAC，△OAD），如图2.8所示。则△OAC的高为CE、△OAD的高为DG、△OAB的高为BK。过点B作OA的平行线交于CE上的点H。

因为BC与AD相等并且平行，则BC与AD在任意方向的投影相等，即

CH=DG

又因

HE=BK

则有

BK=CE-CH=CE-DG

①

根据力对点之矩的定义，由式（2.7）可得

M_O（F_R）=2A_△OAB=OA×BK

②

将式①代入式②得

M_O（F_R）=OA×（CE-DG）=OA×CE-OA×DG=2A_△OAC-2A_△OAD

=M_O（F₁）+M_O（F₂）

定理得证。

在工程计算中，求一个力对某点之矩时，当力臂难以计算时，可将这一力分解成便于确定力臂的两个分力，再应用合力矩定理求解力对点之矩，这样做往往可给计算带来很大方便。

【例2.4】图2.9所示为一重力式挡土墙。已知挡土墙自重F_G=95kN，墙承受的土压力F=66.5kN。试校核挡土墙抗倾覆稳定性。

解：挡土墙在土压力F作用下可能绕墙趾A点倾倒，而自重F_G对点A之矩则起着抗倾覆的作用。因此应取点A为矩心，分别计算使挡土墙倾覆的力矩M_倾和抵抗倾覆的

力矩M_抗。

M_A倾（F）=M_A（F_y）+M_A（F_x）

=-F_y×1.08+F_x×1.4

=-F×sin34°×1.08+F×cos34°×1.4=37.02（kN·m）

M_A抗（F_G）=-F_G ×0.49=-95×0.49

=-46.55（kN·m）

由于|M_A抗（F_G）|＞|M_A倾（F）|，因此挡土墙不会绕点A倾倒。

图2.9

图2.10

力偶和力偶矩概念 我们用双手转动自行车头，用手拧水龙头开关等运动，都是作用

了一对等值、反向且不共线的平行力后，才使自行车头和水龙头开关发生转动。这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的特殊力系，称为力偶，记作（F，F′）。如图2.10所示。力偶的两个力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。

由于组成力偶的两力F和F′等值、平行且反向，力系的矢量和显然等于零，力偶在任意轴上的投影等于零。组成力偶的两个力的矢量关系为F=-F′，两个力的数量关系为F=F′。力偶不能合成为一个合力。由于组成力偶的两力不共线，因此不能相互平衡，它们也只能使物体改变转动状态。

力偶对物体的转动效应，可用力偶矩来度量。力偶矩为力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和；矩的大小也等于力偶中的任一个力的大小与力偶臂的乘积，其值与矩心位置无关。平面力偶矩可用代数量表达，以M或M（F，F′）表示。即

M=±Fd=±A_ACBD

（2.9）

式（2.9）中，力偶逆时针转向矩为正，反之为负。在判断力偶转向时，可将力偶中的一个力的箭头向另一个力一侧偏转后，所指示的转向即为力偶的转向。力偶矩大小也等于由两个力为对边组成的平行四边形面积，如图2.10所示。力偶矩的单位与力矩单位相同，

也是N·m或kN·m。

力偶的等效定理 由于力偶的作用只改变物体的转动状态，力偶对物体的转动效应是用力偶矩来度量，由此可得力偶等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。由此定理可得以下推论：

推论1：任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用效应。这是力偶的对外可移转性（在作用面内的移动和转动）。

推论2：只要保持力偶矩不变（大小和转向不变），可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效应。这是力偶的内部组成元素的可调整性。

由此可见，力偶臂和力的大小，都不是力偶的特征量，它们只是组成力偶的内部元素。而只有力偶矩才是平面力偶作用效应的唯一量度。因此，今后常用图2.11所示的符号表示力偶，M为力偶矩。

图2.11

平面力偶系的合成 设在同一平

面内有两个力偶（F₁，F′₁）和（F₂，F′₂），如图2.12（a）所示。它们的力偶矩分别为M₁

=F₁d₁ ，M₂=-F₂d₂。根据推论2，在保持力偶矩不变的情况下，使两个力偶具有大小

相等的力偶臂d，可得到两个等效的新力偶（F₃，F′₃）和（F₄，F′₄）。即

M₁=F₁d₁=F₃d

M₂=-F₂d₂=-F₄d

根据推论1，将力偶（F₃，F′₃）和（F₄，F′₄）在平面内移转，使两个力偶的力作用线共线，如图2.12（b）所示。分别将作用在点A和点B的共线力系合成为合力，即

F=F₃-F₄

F′=F′₃-F′₄

由于F与F′是大小相等，方向相反，所以构成了与原力偶系等效的合力偶（F，F′），如图2.12（c）所示。以M表示合力偶的矩，即

M=Fd=（F₃-F₄）d=F₃d+（-F₄d）=F₁d₁+（-F₂d₂）=M₁+M₂

图2.12

如果在同一平面内有两个以上的平面力偶，可以按照上述方法逐步两两合成。即在同平面内的任意一个力偶系可合成一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，可写为

M=ΣM_i

（2.10）

平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是，所有各力偶矩的代数和等于零。即

ΣM_i=0

（2.11）

式（2.11）说明一个力偶只可能与其他力偶组成平衡系统，一个力偶不可能与一个力组成平衡系统，力偶只可能由力偶平衡。

【例2.5】一支架如图2.13（a）所示。各杆自重不计，A、D、C三处均为铰接。

杆AB上受一力偶作用。已知力偶矩的大小为M（F，F′）=1kN· m，转向如图所示。求A、D处的约束力。

图2.13

解：（1）以杆AB为研究对象并进行受力分析。杆AB受已知力偶（F，F′）作用，因杆CD为二力杆，杆CD通过铰D给杆AB的约束力作用线沿杆CD方向；固定铰支座A对杆AB的约束力为F_A。因为力偶只能由力偶平衡，所以约束力F_D和F_A必组成一个

力偶，杆AB受力如图2.13（b）所示。

（2）列平面力偶系的平衡方程求解。

ΣM_i=0

F_A×3sin45°-M=0

则

F_A=3×sMin45°=0.471（kN）

因为F_D=F_A，所以F_D=0.471kN。

（3）校核。

ΣM_A （F）=F_Dsin45°×3-M=0.471×0.707×3-1=0

计算过程无误。

在上面例题求解过程中，需要说明的有以下几点：

当一个构件上的主动力系为力偶系，且构件只有两个约束力，构件平衡时，两个约束力必然要组成一个约束力偶。因为主动力系可合成一个合力偶，合力偶只能与另一力偶组成平衡力系，所以两约束力必然要组成一个力偶。因此，已知一个约束力的方向时，即可确定出另一个约束力的方向。

当用平衡条件求出组成力偶的一个约束力的大小后，则另一约束力与其大小相等、正负号也相同。不要以为两力的绝对方向相反，两力的大小数值就要反号。

力的平移定理 力的可传性表明，力可以移到刚体内的力作用线段上的任意一点，不改变力对刚体的作用效应。但当力平移出原来的作用线时，虽然力矢没有改变，即力对刚体的移动效应没有改变，但因力作用线位置发生了变化，则改变了力对刚体的转动效应。为了将力等效地平行移动，有如下定理。

把作用在刚体点A的力F_A平移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F_A对新作用点B的矩。

证明：刚体的点A作用一力F_A，如图2.14（a）所示。在刚体上任取一点B，并在

点B加一对平衡力F′和F_B，令F_B=-F′=F_A，如图2.14（b）所示。显然，这三个力

与原力F_A等效。这三个力可视为一个作用在点B的力F_B和一个力偶（F_A，F′），这个力偶称为附加力偶，附加力偶的矩为

M=F_Ad=M_B（F_A）

图2.14

如图2.14（c）所示。将力平移时，要注意附加力偶的转向。将原力的箭头向平移点的一侧偏转，即可得附加力偶的转向。

思考题

2.6 你在骑自行车的过程中，必有力对点之矩效应。在整个运动系统中，有几处存

在力对点之矩问题?

2.7 当你从楼房阳台挑梁的最外端向梁支座处移动时，挑梁绕墙体支座有转动效应，这种效应随着你的移动有什么变化?

2.8 风力发电机和水力发电机中，有没有力对点之矩的机械装置?

2.9 你驾驶汽车时，用到力偶了吗?当你所用力不变时，方向盘直径的大小对转动效应有无影响?

2.10 图示半径为R的圆轮可绕轴O转动，轮上作用一力偶矩为M的力偶和一个与轮缘相切的力F，轮在力偶M和力F的作用下处于平衡状态。这是否说明力偶可以用一个力来与之平衡?

思考题2.10图

习题

2.8 求下列图中力F对点O之矩。

习题2.8图

2.9 图示为一挡土墙，已知其单位长墙重F_G=130kN，墙背作用土压力F=85kN，试计算各力对挡土墙前趾点A的力矩，并判断墙是否会倾倒。

习题2.9图

习题2.10图

2.10 图示工件上作用有三个主动力偶，三个力偶的矩大小分别为：M₁=M₂=

10N·m，M₃=20N·m。在A、B处各作用一力F_A和F_B，两力作用线平行且指向相反，F_A=F_B=150N。问工件是否能转动?

2.11 图示梁AB上作用两个力偶，力偶矩大小分别为M₁=20kN· m，M₂=8kN·

m。求支座A和B的约束力。

习题2.11图

2.12 在图示结构中，各构件的重量不计，在构件AB上作用一矩为M的力偶，求支座A和C的约束力。

习题2.12图

习题2.13图

2.13 在图示结构中，各构件的重量不计，在构件BC上作用一矩为M的力偶，求支座A的约束力。