2.1 平面汇交力系的合成与平衡_建筑力学（第2版）-QQ阅读男生历史网

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2.1 平面汇交力系的合成与平衡

平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。它是一种简单力系，是研究复杂力系的基础。

平面汇交力系合成的几何法如图2.1（a）所示，由力F₁、F₂、F₃和F₄组成的平面汇交力系作用于刚体上。为合成此力系，根据力的平行四边形法则，每次将两个力合成为一个力，如图2.1（c）所示。最后求得一个通过汇交点A的合力F_R，如图2.1（b）所示。显然，图2.1（c）中力矢F_R1、F_R2只是几何求解过程中的代换量，因此可以省略。直接将各分力的矢量依次首尾相连，由此组成一个不封闭的力多边形abcde，而合力矢F_R则是由力多边形的起点a向末点e作的矢|量|a→e，如图2.1（c）所示，将此种方法称为力多边形法则。另外，作力多边形时，只要遵循各分力矢首尾相接的规则，可以按不同的分力

图2.1

顺序画出各分力矢，其结果只是力多边形的形状不同而已，但所求合力F_R的矢量不变，

如图2.1（d）所示。

总之，平面汇交力系可简化为一合力，合力矢等于各分力矢的矢量和（几何和），合力的作用线通过汇交点。若平面汇交力系包含n个力，以F_R表示它们的合力矢，则有

F_R=F₁+F₂+…+F_n=ΣF_i

（2.1）

图2.2

力在平面直角坐标轴上的投影如图2.2所示，在力F作用的平面内建立直角坐标系oxy。由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线，得垂足a、b。线段ab的长度加上反映力指向（相对坐标轴正向）的正号或负号，这个代数量称力F在x轴上的投影，记为F_x。投影的正负号

规定如下：若由力起点垂足a向终点垂足b的方向与轴正向一致，投影为正，反之为负。同理，可得力F在y轴上的投影F_y。若取力F作用线与x轴所夹锐角为α，则力F在两轴上的投影F_x和F_y可用下列式子计算

F_x=±FcosαF_y=±Fsin ㊣

㊣α㊣

（2.2）

式中正负号由直接观察判定。

若已知力F在平面直角坐标轴上的投影F_x和F_y，则该力的大小和方向为

F=㊣F²_x+F²_y

㊣

tanα=|F_y|

㊣

（2.3）

|F_x

|㊣

式中：α表示力F作用线与x轴所夹锐角。若F_x＞0、F_y＞0，力F指向第一象限；F_x＜

0、F_y＞0，力F指向第二象限；F_x＜0、F_y＜0，力F指向第三象限；F_x＞0、F_y＜0，力

F指向第四象限。

合矢量投影定理对图2.1（c）所示的力多边形的各分力矢量与合力矢量都向x轴投影，如图2.3所示。各分力矢量及合力矢量在x轴上的投影分别为

F_x1=-|a′b′|，F_x2=|b′c′|，F_x3=|c′d′|，F_x4=|d′e′|，F_Rx=|a′e′|

由图中可知

|a′e′|=-|a′b′|+|b′c′|+|c′d′|+|d′e′|

即

F_Rx=F_x1+F_x2+F_x3+F_x4

对于由n个力组成的平面汇交力系则有

FFRRxy==FFyx11++FFyx22++……++FFyxnn==ΣΣFFyxii}（2.4）

式（2.4）为合矢量投影定理表达式，即合矢量在任一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上的投影代数和。

平面汇交力系合成的解析法由式（2.3）

图2.3

可知，在平面直角坐标系中，已知合力的两个投影F_Rx、F_Ry，即可求出合力的大小和方向，即

F_R=㊣（ΣF_x）²+（ΣF_y）² tanα=|ΣF_y|

㊣

（2.5）

|ΣF_x

|㊣

式中α表示合力F_R作用线与x轴所夹锐角。合力的指向可由ΣF_x和ΣF_y的正负号判定。合力F_R的作用点仍在汇交点。

【例2.1】用解析法求图2.4（a）所示平面汇交力系的合力。

图2.4

解：（1）求合力F_R在x轴和y轴上的投影。

F_Rx=ΣF_xi=F₁cos0°+F₂cos50°-F₃sin30°-F₄cos20°=-9.86（kN）F_Ry=ΣF_yi=F₁sin0°+F₂sin50°+F₃cos30°-F₄sin20°=13.81（kN）

（2）求合力F_R的大小和方向。

F_R=㊣F²_Rx+F²_Ry=㊣（-9.86）²+（13.81）² =16.97（kN）

tanα=||FFRRxy||=|-139..8816|=1.4

α=arctan1.4=54.47°

因F_Rx＜0、F_Ry＞0，合力F_R指向第二象限，作用线与x轴夹锐角54.47°。如图2.4

（b）所示。

平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力

F_R等于零。由式（2.5）应有

F_R=㊣（ΣF_x）²+（ΣF_y）² =0

为使上式成立，必须同时满足两个方程，即

ΣF_x=0

ΣF_y=㊣

㊣0㊣

（2.6）

式（2.6）称平面汇交力系的平衡方程。它是两个独立方程，可以求解两个未知量。

【例2.2】平面刚架上作用一主动力F，已知F=50kN，如图2.5（a）所示。求刚

架A、D处的支座约束力。

解：（1）选取刚架为研究对象，对其进行受力分析。刚架受有集中力F，支座A约束力F_A和支座D约束力F_D。力F和力F_D的作用线交于点C，根据三力平衡汇交定理，可判定出力F_A的作用线沿AC线，指向暂可假定。作刚架的受力图如图2.5（b）所示。

（2）设置坐标系，列平衡方程求解。由平面汇交力系平衡方程式（2.6）可得

ΣF_x=0

F+F_Acosα=0

则

F_A=-coFsα=-520㊣5=-55.9（kN）

ΣF_y=0

F_D+F_Asinα=0

则

F_D=-F_Asinα=-（-520㊣5）×1㊣5=25（kN）

图2.5

（3）校核。将所有力向AC射线上投影求代数和，得

ΣF_ACi=F_A+Fcosα+F_Dsinα=-55.9+50×2㊣5+25×1㊣5=0

上式计算结果等于零，说明求解过程计算无误。

在上边例题求解过程中，需要说明的有以下几点：

设置坐标系。为了计算力的投影方便，坐标轴应尽量与较多的力平行或垂直。不一定总是设置水平轴和竖直轴。

计算结果符号。结果为正说明力的假设指向与实际方向一致；结果为负说明力的假设方向与实际方向相反，尽管计算结果为负，但在以后的计算中，列投影方程时仍按力的原假设方向投影，但在代入数值时，这个力的大小按负值代入即可。

校核。对于从事工程技术人员来说，要掌握对计算结果校核的方法，要养成计算结果必须校核的良好习惯。对汇交力系平衡问题计算结果进行校核时，可以选除已设置的投影轴以外的任意轴，如果求解过程无误，则这一平衡力系向任意轴投影的代数和为零，否则，计算有误。

【例2.3】支架由杆AB和AC组成，如图2.6（a）所示。A、B、C三处均为铰链

连接，在点A悬挂重为F_G的重物，各杆重量不计，求杆AB和AC所受的力。

解：（1）取A铰处的销钉为对象并对其进行受力分析。销钉受有杆AB、杆AC的作

用力和重物的重力。两杆都是二力杆，所以，杆对销钉的作用力沿杆轴线，假设为拉力。销钉A的受力图如图2.6（b）所示。

图2.6

（2）设置坐标系如图2.6（b）所示，列平衡方程求解。

ΣF_x=0

-F_AC-F_Gcos30°=0

则

F_AC=-F_Gcos30°=-㊣23F_G

ΣF_y=0

F_AB-F_Gsin30°=0

则

F_AB=F_Gsin30°=12F_G

（3）校核。求所有力在x′轴的投影代数和得

ΣF_x′=F_ABcos60°-F_ACcos30°-F_G

=12F_G ×12-（-㊣23F_G）×㊣23-F_G=0

计算过程无误。

在上边例题求解过程中，需要说明的有以下几点：

研究对象的选取。因为杆AB、AC都为二力杆，受力图如图2.6（c）所示，每一个杆的两端铰的销钉对杆的约束力都是未知大小的力，所以取各杆为研究对象是求解不出未知量。本例选取销钉为对象，对象上有已知力F_G和未知大小的两个约束力F_AB、F_AC。平面汇交力系有两个独立平衡方程，因此，可以求解。

作受力图。在解由二力杆组成的杆系结构时，工程中规定杆受轴向拉力为正值，受轴向压力为负值。所以，在作受力图时，杆所受的轴力假设为拉力；杆对销钉的作用力也要假设为离开销钉的拉力，即采用设正法。另外，虽然我们取销钉为对象，杆和销钉之间的作用力与反作用力尽管绝对指向相反，但二者的性质完全相同。若取销钉为对象，求出杆对销钉的作用力为正值，说明杆对销钉作用拉力，反过来，销钉对杆的反作用力也是拉力。

思考题

2.1 图示为两个形状相同的力矢多边形，问两个力矢多边形所表示的意义是否相同?试分别用矢量式表示其关系。

2.2 将力F置于两个不同的坐标系中，如图（a）、（b）所示。试画出力F在每个坐标系中的投影与分力。