4.2　虚位移原理（虚功原理）

设有任一弹性体，在一定的外力作用下处于平衡状态。命u，v，w为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足用位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件以及用位移分量表示的应力边界条件。现在，假想这些位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即所谓虚位移δu、δv、δw（位移变分），成为u′=u+δu，v′=v+δv，w′=w+δw。

假定弹性体在虚位移过程中没有温度的改变，也没有速度的改变，因而也就没有热能或动能的改变。这样，依据能量守恒定理，应变能的增加应当等于外力所做的功（虚功）。注意，外力包括分量为fx、fy、fz的体力，以及分量为的面力；并且，由于虚位移是微小的，在虚位移的过程中，外力的大小和方向可以认为不变。这样，应变能的增加为

式中，S是弹性体的边界。由于虚位移是在位移边界条件所容许下发生的，因此，在位移边界Su上δu=δv=δw=0，上式的面积分只须包括全部受己知面力的边界Sσ。将上式进行归项以后，得到

这个方程被称为位移变分方程，也称为拉格朗日变分方程。

按照变分法（参见附录3），变分的运算与定积分的运算可以交换次序，即

δVε=δ∫VυεdV=∫VδυεdV

把应变能密度υε看作应变分量的函数，并应用上节知识，可由上式得到

代入式（4-1），得到虚位移原理（也称虚功原理或虚功方程）的表达式为

把该方程右边的各项称为应力在虚应变上所做的虚功，则虚位移原理可以表述如下：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在与该虚位移相应的虚应变上所做的虚功。