4.1　弹性体的应变能

假定弹性体在受力过程中始终保持静力平衡，因而没有功能的改变，而且弹性体的非机械能也没有变化。于是，根据热力学第一定律，外力所做的功就完全转变为弹性体因变形而储存于弹性体内部的能量。这个储存于弹性体内部的能量，称为应变能（也称形变势能或内能）。

应变能可以用应力在其相应的应变上所做的功来计算。设弹性体只在某一个方向（如x方向）受有均匀的正应力σx，相应的正应变为εx，则单位体积内具有的应变能，即应变能密度为

当弹性体的应力—应变关系为线性时，由于σx=Eεx，则有

弹性力学基本假定之一：完全弹性假定

假定物体在引起变形的外界因素被取消以后，能完全恢复原状而没有任何剩余变形，并且完全服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成比例，二者具有线性关系。

设弹性体只在某两个互相垂直的方向（如x和y方向，）受有均匀的切应力τxy，相应的切应变为γxy，则应变能密度为。

设弹性体受有全部六个应力分量，则应变能的计算似乎很复杂，因为这时每一个应力分量会引起与另一个应力分量相应的应变分量，好像应变能将随着弹性体受力次序不同而不同。但是，根据能量守恒定理，应变能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及应变的最终大小。因此，假定六个应力分量和六个应变分量全都同时按同样的比例增加到最后的大小，这样就可以很简单地算出相应于每一个应力分量的应变能密度，然后把它们相叠加，从而得出全部应变能密度为

在一般的情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能密度υε一般也是位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能Vε，必须把应变能密度υε在整个弹性体内进行积分，设弹性体的体积为V，则有

为了将应变能密度和应变能用应变分量来表示，须利用应变分量表示应力分量的物理方程。由此得出

由于0<μ<0.5，故由上式可见：不论变形如何，弹性体的应变能总不会是负的。在所有的应变分量都等于零的情况下，应变能才等于零。

知识扩展

分别对六个应变分量求导，得出

以上式子表明：弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。

另外，应变能还可以用位移分量来表示，只须将几何方程代人即可。

类似的，可以用表示单位体积内的应变余能，即应变余能密度。虽然应变余能密度和应变能密度的数值相等，但它们的自变量是不同的。整个弹性体的应变余能也可以类似推导。