2.2 力矩马达的数学模型与仿真分析

2.2.1 结构与工作原理

双喷嘴挡板电液伺服阀、射流管电液伺服阀和偏导射流电液伺服阀一般采用永磁动铁式力矩马达作为其电-机转换器。如图2-1所示，虽然各伺服阀的力矩马达外观上有差别，但工作原理和构成一样，都由N极导磁片、S极导磁片、衔铁、控制线圈、永磁铁、弹簧管等组成。

如图2-2所示，弹簧管是用弹性材料做成的薄壁圆管，一端紧固在衔铁中部，另一端固定在下一级液压放大元件上。

衔铁固定在弹簧管上端，由弹簧管支承在N、S极导磁片的中间位置，可绕弹簧管的转动中心做微小的转动。衔铁两端与N、S极导磁片形成四个工作气隙（分别为气隙1、2、3、4），两个控制线圈套在衔铁上。N、S极导磁片除作为磁极外，还为永磁铁产生的极化磁通和控制线圈产生的控制磁通提供磁路，如图2-3所示。

永磁铁将导磁片磁化为N极和S极。无电信号输入时，衔铁末端处在两导磁片间隙的中间位置。由于力矩马达结构是对称的，永久磁铁在四个工作气隙中所产生的极化磁通是相等的，因此衔铁两端所受的电磁吸力相平衡，无电磁力矩输出。当有电信号输入时，控制线圈产生控制磁通，其大小和方向取决于信号电流的大小和方向。假设在气隙1、3中控制磁通与极化磁通方向相同，而在气隙2、4中控制磁通与极化磁通方向相反，因此气隙1、3中的合成磁通大于气隙2、4中的合成磁通，于是在衔铁上产生顺时针方向的电磁力矩，使衔铁绕弹簧管转动中心顺时针方向转动。弹簧管在衔铁的作用下将发生变形，对衔铁产生逆时针的反向力矩，当弹簧管变形产生的反力矩与电磁力矩相平衡时，衔铁停止转动。如果信号电流反向，衔铁上将产生与信号电流的大小成比例的逆时针方向的电磁力矩，衔铁将绕弹簧管转动中心逆时针方向转动，同样转动到弹簧管变形产生的反力矩与电磁力矩相平衡时的位置停止。因此，衔铁的电磁力矩和转角方向与信号电流的方向有关、大小与信号电流的大小成比例。

2.2.2 电路模型

伺服阀带有标准的4芯电气插座（与MS3106F14S2S电缆插头相匹配）。力矩马达的四根引线均在插座处，所以可将力矩马达线圈外接为串联、并联、单独使用或差动等四种工作形式，如图2-4所示。

当双线圈并联时，输入电阻为单线圈电阻的一半，额定电流为单线圈接法时的额定电流。其特点是工作可靠，一只线圈坏了也能工作，电流和电控功率小，但易受电源电压变动的影响。

当线圈串联连接时，输入电阻为单线圈电阻的两倍，额定电流值为并联连接或单线圈工作时额定电流值的一半，此种接线方法额定电流和电控功率小，易受电压变化影响。

双线圈单独使用时，一只线圈接输入，另一线圈可用来调偏、接反馈或引入颤振信号。输入电阻等于单线圈电阻，线圈电流等于额定电流。此种接法可以减小电感的影响。

双线圈差动接法时，差动电流等于额定电流，等于两倍的信号电流。其特点是不易受电子放大器和电源电压波动的影响。下面将以此种接法为例，介绍力矩马达的模型。

如图2-5所示，力矩马达的两个控制线圈由一个推挽直流放大器供给控制电流。放大器中有一常值电压E_b加到控制线圈上，使得在每个控制线圈中产生的常值电流I₀大小相等、方向相反，即I₀在两线圈中引起的控制磁通相互抵消，使衔铁不会输出电磁力矩。当给放大器输入控制电压时，控制线圈中将产生控制电流，使一个控制线圈中的电流增加，另一控制线圈中的电流减小，两控制线圈中的电流可分别表示为

式中，i₁、i₂为两线圈的总电流；I₀为每个线圈中的常值电流；i为输入电流。

因此两个控制线圈中的差动电流为

差动电流Δi即为力矩马达的控制电流i_c，其在衔铁中产生控制磁场，控制衔铁运动。

由于伺服阀放大器为深度电流负反馈的直流伺服放大器，其固有频率远大于力矩马达，因此伺服阀放大器可简化为比例环节，其控制电流和伺服阀放大器控制电压间满足

式中，K_u为放大系数；u_c为控制电压。

2.2.3 磁路模型

由图2-3和图2-5所示的力矩马达原理图，可建立图2-6a所示的力矩马达磁路简图以及与其对应的磁路分析图（图2-6b）。图2-6b中，R₁、R₂、R₃和R₄为四个工作气隙的磁阻，R₅是衔铁磁阻，R₆和R₇是导磁片水平方向磁阻，R₈、R₉、R₁₀和R₁₁是导磁片竖直方向的磁阻，R₁₂和R₁₃是永磁铁磁阻；M₀为永磁铁的极化磁动势，N_ci_c为控制电流产生的控制磁动势^[22，23]。

若磁性材料磁阻远小于工作气隙磁阻，只考虑工作气隙磁阻，则图2-6可简化为图2-7所示的简化磁路模型图。

由磁阻定义可知，当衔铁位于中间位置时，每个工作气隙中产生的磁阻R_g为

式中，g为衔铁在中位时四个工作气隙的长度（见图2-5）；μ₀为真气磁导率；A_g为磁极面的面积。

衔铁端部偏离中位x后，1、3之间的气隙磁阻变为

在2、4之间的气隙磁阻变为

式中，x为衔铁端部（磁极面中心）偏离中位的位移（见图2-5）。

由图2-7简化磁路模型图和基尔霍夫第二定律可得磁路方程

因此，可得解得通过工作气隙1和3的磁通

通过工作气隙2和4的磁通

式中，N_c为每个控制线圈的匝数；M₀为极化磁通。

由于衔铁在中位时的极化磁通Φ_g和控制磁通Φ_c可表示为

将极化磁通和控制磁通代入式（2-26）和式（2-27），可将其化为

由图2-7和基尔霍夫第一定律可知，衔铁的磁通

由于力矩马达工作在中位附近，因此，将其代入式（2-32）可得

2.2.4 转矩输出的数学模型

1.无磁滞输出模型

衔铁所受的电磁吸力满足

式中，Φ为通过气隙的磁通。

因此可得衔铁在气隙1、3处所受吸力F_1，在气隙2、4处所受吸力F₂分别为

由于F₁和F₂产生的电磁力矩相反，因此由控制磁通和极化磁通相互作用在衔铁上产生的输出电磁力矩为

式中，a_m为衔铁转动中心到磁极面中心的距离，其与衔铁端部位移的关系满足

通常力矩马达工作在中位附近，衔铁转角θ很小，因而x=tanθ≈a_mθ。

将式（2-30）和式（2-31）代入式（2-37）可得

式中，K_t为力矩马达的中位电磁力矩系数

K_m为力矩马达的中位磁弹簧刚度

由式（2-39）可知，只要衔铁略为偏离中位，就算没有输入电流，衔铁也会受电磁力矩之作用而偏转。越偏转则力矩越大，力矩越大则越偏转，直到衔铁碰上导磁体为止。为了使衔铁有确定的偏转角，就必须另设一个机械弹簧与衔铁连接在一起。衔铁偏转后产生一个和偏转角成正比的机械弹簧力矩与电磁力矩平衡，这时衔铁才能停留在确定的角位移处，磁弹簧的作用与机械弹簧相反，所以可以说它是一个负弹簧。

从式（2-39）可以看出，力矩马达的输出电磁力矩受控制磁通的二次方影响，而控制磁通和控制电流成正比，因此力矩马达的输出电磁力矩和控制电流的关系是非线性的。但若力矩马达设计成1+（Φ_c/Φ_g）²≈1，则力矩马达的输出电磁力矩和控制电流就可以成为线性关系，所以为改善线性度，一般取（Φ_c/Φ_g）²≪1。另外，为防止衔铁被永磁体吸附，力矩马达一般设计成|x/g|＜1/3，可近似认为1±（x/g）²≈1，所以力矩马达的输出电磁力矩模型[式（2-39）]可简化为

式中，K_ti_c是衔铁在中位时，由控制电流i_c产生的输出电磁力矩，称为中位输出电磁力矩；K_mθ是由衔铁偏离中位时，气隙发生变化而产生的附加输出电磁力矩，它使衔铁进一步偏离中位。这个力矩与转角成比例，相似于弹簧的特性，称为输出电磁弹簧力矩。

力矩马达的负载可以等效为由惯量-弹簧-阻尼和外负载构成的二阶系统。因此由牛顿第二定律可得，力矩马达的平衡方程为

拉氏变换后，可得

因此力矩马达的动态输出角位移的传递函数为

式中，J_a为衔铁组件的等效转动惯量；B_a为衔铁组件的等效阻尼；K_a为衔铁组件的综合刚度；T_L为作用在衔铁上的外负载。

2.计磁滞影响的输出模型

由于磁路中存在磁性元件，而磁性元件的磁化是磁滞非线性的，因此力矩马达的输出也呈现出磁滞非线性，精确建立力矩马达模型需要考虑磁路中磁性元件的磁滞特性。为建模方便，假设磁化过程满足两个条件：①控制磁通和极化磁通满足线性叠加性；②磁路中所有磁性元件，磁化参数和磁化过程是一样的。

由式（2-33）可得，衔铁中磁通由两部分构成，一部分为线圈产生的控制磁通，另一部分为永磁铁产生的极化磁通。若控制磁通由控制磁场产生的感应强度和衔铁磁通通流面积之积表示，衔铁中的磁通可表示为

由图2-7可知，衔铁中的磁通满足

极化磁通满足

联立式（2-47）、式（2-48）可得

因此，代入式（2-37）可得

由于(x/g)²≪1，(Φ_c/Φ_g)²≪1，x≈a_mθ，所以式（2-51）可简化为

将式（2-52）代入式（2-43）可得，计磁滞影响下力矩马达输出角位移的传递函数为

2.2.5 仿真分析

1.无磁滞影响的模型仿真

力矩马达的静态角位移特性分为，空载角位移特性和加载角位移特性。空载角位移特性是指在力矩马达输出力矩为零的条件下，力矩马达输出位移与控制电流的关系。加载角位移特性是指在负载力矩作用下，力矩马达输出位移与控制电流的关系。由于加载角位移特性曲线可由空载角位移特性曲线上下平移直接得出，因此本章主要分析空载角位移特性。

由式（2-45）可得力矩马达输出角位移的空载静态特性方程

由式（2-54）可以看出，不计磁滞和非线性影响时，力矩马达的输出角度与控制电流成正比，其输出转角的增益随着中位电磁力矩系数K_t的增大而增大，随着弹簧管刚度K_a的增大而变小。但力矩马达正常工作时，要求K_a＞K_m，否则力矩马达电磁力矩将大于弹簧管的反力矩，此时衔铁被永磁体吸附。

将表2-1中的参数代入式（2-54），仿真可得力矩马达空载角位移的静态特性曲线，如图2-8所示。由式（2-42）可得，力矩马达零位移输出时，输出力矩的静态特性曲线如图2-9所示，

由图2-8和图2-9可知，在控制电流为-10～10mA时，空载时输出角位移为-0.55°～0.55°，输出角位移为零时的输出电磁力矩范围为-0.026～0.026N·m。在1±（x/g）²≈1，1±（Φ_c/Φ_g）²≈1，x≈a_mθ条件且不考虑磁滞影响时，力矩马达在-10～10mA控制电流下，其静态特性曲线为线性。

力矩马达的动态性能由传递函数式（2-45）确定，忽略负载后，将表2-1中的参数代入式（2-45）可得力矩马达的动态方程

通过MATLAB仿真可得力矩马达的频率响应曲线，如图2-10所示。在10mA额定电流下，力矩马达的阶跃响应曲线如图2-11所示。

由图2-10可知，在表2-1参数下，力矩马达的仿真幅频宽（幅值下降-3dB的频率点）为249Hz，相频宽（相位滞后90°的频率点）约为626Hz。由图2-11可知，在表2-1参数下，力矩马达的响应时间＜2ms。

2.计磁滞影响的模型仿真

由于铁磁体的磁化存在磁滞与磁饱和非线性，因此，在控制电流较大时，力矩马达也存在磁滞与磁饱和现象。图2-12为由2.1节所描述的控制磁场强度和控制磁感应强度之间的关系式建立起来的Simulink仿真图，其仿真结果如图2-13所示。

由图2-13可知，铁磁体在未达到磁饱和之前，控制磁感应强度随着控制磁场强度的增大而增大，但两者之间的关系曲线是非线性的，且存在磁滞滞环。在控制磁场强度等于零的附近，控制磁感应强度随着磁场变化最快，两者之间线性最好。

由式（2-53）可知，若考虑磁滞影响时，力矩马达的空载静态输出角位移传递函数为

结合图2-12所示铁磁体磁化的Simulink仿真图可得，计磁滞影响的力矩马达输出特性的数学模型Simulink仿真图如图2-14所示。

代入表2-1中参数，仿真可得空载条件下力矩马达的输出角位移和输出电磁力矩的特性曲线，分别如图2-15和图2-16所示。在-10～10mA控制电流时，所给力矩马达的空载输出角位移为-0.517°～0.517°，输出电磁力矩范围为-0.0248～0.0248N·m。

2.2.6 优化与设计准则

由式（2-39）可知，力矩马达静态性能的主要设计参数为中位电磁力矩系数、中位电磁弹簧刚度。

为分析各参数对力矩马达的影响因素，对控制磁通和力矩马达的输出角位移进行无因次处理，令

则通过数学代换，力矩马达的输出电磁力矩模型式（2-39）可化为如下形式

由力矩马达的动态方程式（2-43）可知，在稳态时力矩马达的输出电磁力矩满足

进一步将其代入式（2-59）可得带负载的力矩马达静态方程

由于空载曲线比较重要，需要对空载情况下静态方程单独研究。在空载时，由式（2-61）可得，无因次的控制磁通和输出角位移的关系如下。

取不同的K_m/K_a值，可画出无因次的控制磁通和输出位移的关系曲线，如图2-17所示。

由图2-17可知，当|x/g|＞1/3时，无论K_m/K_a的如何取值，衔铁都处于静不稳定状态。虽然静稳定极限与弹簧参数无关，但使衔铁出现静不稳定的最大控制磁通随K_m/K_a减小而增加，同时此力矩马达的输出增益（或曲线的斜率）随K_m/K_a的增大而增大。

由力矩马达的无因次输出模型式（2-62）和图2-17均可以看出，力矩马达的控制磁通和输出位移是非线性的，其线性度主要与Φ_c/Φ_g和K_m/K_a的取值有关。由前面所述可知，当（Φ_c/Φ_g）²≪1时，Φ_c/Φ_g引起的非线性影响可以忽略，因此力矩马达的线性度主要由K_m/K_a来控制，力矩马达一般要求其值小于0.4，但有时可以根据需要适当超过。

由式（2-45）可知，衔铁组件的综合刚度、衔铁组件的等效阻尼等参数影响着力矩马达的动态性能，是力矩马达动态性能的主要设计参数。

由力矩马达输出的动态方程式（2-45）可得电流到输出角位移的传递函数

式中，ω_m为衔铁组件的固有频率，其取值为

由式（2-63）所表示的二阶系统可知，提高ω_m将能够提高力矩马达的响应速度和频宽。若提高衔铁固有频率，应尽量减小衔铁的转动惯量J_a，增加弹簧管刚度K_a。

取K_m/K_a的比值为0.2、0.4、0.8，分别代入式（2-63）仿真计算，可得K_m/K_a对力矩马达动态响应曲线的影响。由图2-18和图2-19可知，K_m/K_a对力矩马达的稳定性影响较小，对稳态值影响较大。K_m/K_a值越小，力矩马达的幅频宽和相频宽越低，响应速度越慢，但相同控制电流下可以产生较大的角位移，即产生相同位移，K_m/K_a较小时需要的控制电流更小。

取衔铁组件的等效阻尼B_a分别为0.0005N·m·s/rad、0.001N·m·s/rad、0.002N·m·s/rad，分别代入式（2-63）仿真计算，可得等效阻尼B_a对力矩马达动态性能的影响，如图2-20和图2-21所示。由频域分析结果可知，等效阻尼B_a对力矩马达的幅频宽影响显著但不影响相频宽，等效阻尼越小，力矩马达的幅频宽越大，系统稳定性变差，如在B_a=0.0005N·m·s/rad时，幅频特性曲线出现谐振。由时域分析结果可知，等效阻尼B_a对稳态值没有影响，稳态调节时间也接近，但对上升时间和超调量影响显著。B_a=0.0005N·m·s/rad时，系统有较大超调，上升时间约为0.5ms；B_a=0.001N·m·s/rad时，系统超调明显降低，但响应时间增大不多，上升时间约为0.7ms；B_a=0.002N·m·s/rad时，系统响应时间较慢，上升时间接近2ms。

由上分析可得力矩马达的设计准则如下：

1）为降低力矩马达的输出电磁力矩和角位移的非线性，一般取（Φ_c/Φ_g）²≪1，（x/g）²≪1。

2）为防止衔铁被永久磁体吸附，确保力矩马达的稳定性，力矩马达一般设计成|x/g|＜1/3。

3）为提高力矩马达静态特性曲线的线性，要求K_m/K_a＜0.4。

4）为提高力矩马达输出角位移的增益，要求提高刚度比值K_m/K_a。

5）K_m/K_a的值越小，力矩马达的频宽越大，响应速度越快，但产生相同角位移，需要更大的控制电流。

6）衔铁组件的等效阻尼越小，稳定性越差。无阻尼时，系统不稳定，频域和时域的响应速度随着等效阻尼的降低而提高。

由上所述可知，力矩马达的有些设计准则是相冲突的，因此设计力矩马达通常采用试验和计算相结合的方法，确定其中难以确定的参数及其结构参数。