066 1657年 奈尔类立方拋物线的长度

奈尔（William Neile,1637—1670）沃利斯（John Wallis,1616—1703）

上图—法兰德斯艺术家维雍特画笔下的惠更斯。惠更斯注意到粒子受重力影响沿着类立方拋物线下降的轨迹。下图—以方程式 x3=ay2 所表示的类立方拋物线，并分别代入两个不同的a值。

蔓叶线（约公元前180 年），笛卡儿的《几何学》（1637年），对数螺线（1638年），托里切利的小号（1641年），等时曲线问题（1673年）及超越数（1844年）

1657 年，英国籍的奈尔成为史上第一位想要“算出”一条重要代数曲线长度的数学家。这条特殊的曲线叫作“类立方拋物线”，定义成 x3=ay2，如果改写成 y=±ax3/2 的话，就更容易理解为何它会被叫作“半立方体”，以及所谓类立方的由来。奈尔努力的成果汇整在另一位英国数学家沃利斯于1659 年所出版的《论摆线》（De Cycloide）中。值得注意的是，在1659 年之前，数学家只算出对数螺线或摆线这两种超越曲线的长度。

由于计算椭圆和双曲线的弧长之尝试并不成功，有些数学家像法国的哲学家暨数学家笛卡儿就猜测只有些许的曲线的长度可以计算。结果意大利物理学暨数学家托里切利成功算出对数螺线的长度，对数螺线也成为第一条我们确知其长度的曲线（除了圆以外）。下一条被算出长度的曲线是摆线，是由英国几何学家暨建筑师雷恩爵士在 1658 年所算出。

荷兰数学家暨物理学家惠更斯大约在 1687 年，证明当一颗粒子受重力影响沿着类立方拋物线掉落时，会在相同的时间间隔内，位移相同的垂直距离。类立方拋物线也可以用一组等式表达：x=t2和y=at3。写成这种形式时，曲线长度就会是t的函数，亦即（1/27）×（4+9 t2）3/2-8/27；换句话说，也就是曲线介于 0 到 t 时间间隔内的长度。在文献中，奈尔拋物线会以y3=ax2方程式来表示，好让曲线歧点朝下定在 y 轴上，而不是往左定在 x 轴上。■